《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 1. 给出下面四个命题：
①若$xy = 1$，则$x$，$y$互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若$ac^{2} ＞ bc^{2}$，则$a ＞ b$.
其中真命题的序号是①④ .

答案： 对点练1. ①④ ①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故②是假命题；③平行四边形不是梯形，故③是假命题.

?问题导思
（阅读教材 P17—20，完成探究问题 2）
问题 2. 下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3)若$x^{2}-4x + 3 = 0$，则$x = 1$；
(4)若平面内两条直线$a$和$b$均垂直于直线$l$，则$a // b$.

答案： 问题导思 2. 在命题
(1)
(4)中，由条件$p$通过推理可以得出结论$q$，所以它们是真命题.在命题
(2)
(3)中，由条件$p$不能得出结论$q$，所以它们是假命题.

新知 构建
充分条件与必要条件

［微提醒］(1)一般地，如果$p \Rightarrow q$且$q \nRightarrow p$，则称$p$是$q$的充分不必要条件.(2)如果$p \nRightarrow q$且$q \Rightarrow p$，则称$p$是$q$的必要不充分条件.(3)如果$p \nRightarrow q$且$q \nRightarrow p$，则称$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
［微思考］ 若$p$是$q$的充分条件，这样的条件$p$唯一吗？

答案： $ \Rightarrow $ $ \nRightarrow $ 充分 必要 充分 必要
[微思考] 不唯一.例如$q$：“$x ＞ 0$”的充分条件$p$可以是“$x ＞ 2$”，“$x ＞ 3$”，“$2 ＜ x ＜ 3$”等，是不唯一的.

典例 2 (链教材 P18 例 1，P19 例 2)给出下面四组命题：
(1)$p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形全等；
(2)$p$：一个四边形是矩形，$q$：四边形的对角线相等；
(3)$p$：$A\subsetneqq B$，$q$：$A\cap B = A$；
(4)$p$：$a ＞ b$，$q$：$ac ＞ bc$.
试分别指出$p$是$q$的什么条件.
听课笔记：

答案： 典例2 解：
(1)因为两个三角形相似$ \nRightarrow $两个三角形全等，但两个三角形全等$ \Rightarrow $两个三角形相似，
所以$p$是$q$的必要不充分条件.
(2)因为矩形的对角线相等，所以$p \Rightarrow q$，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以$q \nRightarrow p$.
所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(3)因为$p \Rightarrow q$且$q \nRightarrow p$，
所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(4)因为$p \nRightarrow q$，且$q \nRightarrow p$，
所以$p$既不是$q$的充分条件，也不是$q$的必要条件.