《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 2. 指出下列各题中，$p$是$q$的什么条件：
(1)$p$：实数$a$能被 6 整除，$q$：实数$a$能被 3 整除；
(2)$p$：“$x＞2$且$y＞3$”，$q$：“$x + y＞5$”；
(3)$p$：$\triangle ABC$有两个角相等，$q$：$\triangle ABC$是正三角形.

答案： 对点练2. 解：
(1)实数$a$能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即$p \Rightarrow q$，$q \nRightarrow p$，
所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(2)$x ＞ 2$且$y ＞ 3$时，$x + y ＞ 5$成立，反之不一定成立，如$x = 0$，$y = 6$，所以$p$是$q$的充分不必要条件.
(3)在$ \triangle ABC $中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即$p \nRightarrow q$，且$q \Rightarrow p$，
所以$p$是$q$的必要不充分条件.

典例 3 (1)设$p$：$-1\leqslant x＜2$，$q$：$x＜a$，若$q$是$p$的必要条件，则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$\{ a \mid a\leqslant -1 \}$
B.$\{ a \mid a\leqslant -1$或$a\geqslant 2 \}$
C.$\{ a \mid a\geqslant 2 \}$
D.$\{ a \mid -1\leqslant a＜2 \}$
(2)已知集合$A = \{ x \mid -2\leqslant x＜5 \}$，非空集合$B = \{ x \mid 2 - a\leqslant x\leqslant 3 + 2a \}$，其中$a\in \mathbf{R}$. 若$x\in A$的一个充分条件是$x\in B$，则实数$a$的取值范围是$ \left\{ a \mid -\dfrac{1}{3} \leqslant a ＜ 1 \right\} $ .
听课笔记：
［变式探究］(变条件)保持本例(2)条件变为“若$x\in A$是$x\in B$的充分条件”，求实数$a$的取值范围.

答案：
典例3
(1) C
(2) $ \left\{ a \mid -\dfrac{1}{3} \leqslant a ＜ 1 \right\} $
(1) 因为$q$是$p$的必要条件，所以$p \Rightarrow q$，可用数轴表示$ \{ x \mid -1 \leqslant x ＜ 2 \} $和$ \{ x \mid x ＜ a \} $，如图， 所以$a \geqslant 2$，故选C.
@@典例3
(2)由题意得$B \subseteq A$且$B \neq \varnothing$，则$ \begin{cases} 2 - a \leqslant 3 + 2a, \\ 2 - a \geqslant -2, \\ 3 + 2a ＜ 5, \end{cases} $所以$ -\dfrac{1}{3} \leqslant a ＜ 1 $，所以实数$a$的取值范围是$ \left\{ a \mid -\dfrac{1}{3} \leqslant a ＜ 1 \right\} $.
@@[变式探究] 解：因为$x \in A$是$x \in B$的充分条件，故$A \subseteq B$.所以$ \begin{cases} 2 - a \leqslant -2, \\ 3 + 2a \geqslant 5, \end{cases} $即$ \begin{cases} a \geqslant 4, \\ a \geqslant 1, \end{cases} $故$a \geqslant 4 $.所以实数$a$的取值范围为$ \{ a \mid a \geqslant 4 \} $.

对点练 3.(双空题)已知$p$：$-1 ＜ x ＜ 6$，$q$：$1 - m\leqslant x\leqslant 3 + m$.
(1)若$p$是$q$的充分条件，则实数$m$的取值范围为$ \{ m \mid m \geqslant 3 \} $ ；
(2)若$p$是$q$的必要条件，则实数$m$的取值范围为$ \{ m \mid m ＜ 2 \} $ .

答案： 对点练3.
(1) $ \{ m \mid m \geqslant 3 \} $
(2) $ \{ m \mid m ＜ 2 \} $
(1)由题意可得$ \begin{cases} 1 - m \leqslant -1, \\ 6 \leqslant 3 + m, \end{cases} $解得$m \geqslant 3$，则实数$m$的取值范围为$ \{ m \mid m \geqslant 3 \} $.
(2)当$ 1 - m ＞ 3 + m $，即$ m ＜ -1 $时，$p$是$q$的必要条件，符合要求；当$ 1 - m \leqslant 3 + m $，即$ m \geqslant -1 $时，由$p$是$q$的必要条件，可得$ \begin{cases} 1 - m \leqslant -1, \\ 3 + m ＞ 6, \\ m \geqslant -1, \end{cases} $解得$ -1 \leqslant m ＜ 2 $，综上，实数$m$的取值范围是$ \{ m \mid m ＜ 2 \} $.