《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 3. 已知 $ 2 \leq x \leq 8 $，求函数 $ f(x) = \log_2\frac{x}{2} · \log_2\frac{x}{4} $ 的最值.

答案： 解：f(x) = (log₂x−1)(log₂x−2) = (log₂x)²−3log₂x + 2，令t = log₂x，x∈[2, 8]，则t∈[1, 3]，所以y = t²−3t + 2 = (t−$\frac{3}{2}$)²−$\frac{1}{4}$。易知，当t = 3，即x = 8时，yₘₐₓ = 2。当t = $\frac{3}{2}$，即x = 2√2时，yₘᵢₙ = −$\frac{1}{4}$，故函数f(x)的最大值为2，最小值为−$\frac{1}{4}$。

典例 4 (多选)如果一个函数 $ f(x) $ 在其定义区间内对任意 $ x, y $ 都满足 $ f\left(\frac{x + y}{2}\right) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} $，则称这个函数是凹函数，下列函数是凹函数的有(AD)

A.$ f(x) = 2^x $
B.$ f(x) = x^3 $
C.$ f(x) = \log_2 x(x ＞ 0) $
D.$ f(x) = \begin{cases}x, x ＜ 0, \\ 2x, x \geq 0\end{cases} $

答案： AD 由凹函数的定义可知，曲线上任意两点的连线所确定的线段在曲线的上方或者跟曲线重合，画图(图略)可知，只有AD满足。

典例 5 已知函数 $ f(x) = x|x - a| $，若对任意 $ x_1 \in [2, 3], x_2 \in [2, 3], x_1 \neq x_2 $，恒有 $ f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) ＞ \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $，则实数 $ a $ 的取值范围为[3, +∞).
听课笔记：

答案：
[3, +∞) 根据题意，f(x) = x|x−a|在[2, 3]上为凸函数(图象上表现为在[2, 3]上的函数图象在两区间端点连线的上方)，数形结合可得a≥3。
　　　　　　　　 　　

1. 不等式 $ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) ＜ \log_{\frac{1}{2}}(5x - 6) $ 的解集为(D)

A.$ (-\infty, 3) $
B.$ \left(-\frac{3}{2}, 3\right) $
C.$ \left(-\frac{3}{2}, \frac{6}{5}\right) $
D.$ \left(\frac{6}{5}, 3\right) $

答案： 1. D

2. 函数 $ f(x) = \lg(x^2 - 2x - 8) $ 的单调递增区间是(D)

A.$ (-\infty, -2) $
B.$ (-\infty, 1) $
C.$ (1, +\infty) $
D.$ (4, +\infty) $

答案： 2. D

3. 函数 $ y = \log_2(2^x + 2) $ 的值域为(1, +∞).

答案： 3. (1, +∞)

4. 函数 $ y = \log_a x(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 在 $[2, 4]$ 上的最大值与最小值的差是 $ 1 $，则 $ a $ 的值为2或$\frac{1}{2}$.

答案： 4. 2或$\frac{1}{2}$