《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 1. (1)设集合$M = \{$菱形$\}$，$N = \{$平行四边形$\}$，$P = \{$四边形$\}$，$Q = \{$正方形$\}$，则这些集合之间的关系为 (B)

A.$P \subseteq N \subseteq M \subseteq Q$
B.$Q \subseteq M \subseteq N \subseteq P$
C.$P \subseteq M \subseteq N \subseteq Q$
D.$Q \subseteq N \subseteq M \subseteq P$

答案：
(1)B 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则$Q\subseteq M\subseteq N\subseteq P$。故选B。

(2)如果集合$A = \{x \mid x \in \mathbf{Z}$，且$x \geq 0\}$，$B = \{y \mid y = x^{2}, x \in \mathbf{Z}\}$，则集合$A，B$的关系是$B\subseteq A$.

答案：
(2)$B\subseteq A$ 因为$x\in \boldsymbol{Z}$，所以$x^{2}\in \boldsymbol{Z}$，且$x^{2}\geq0$，因为$A = \{x|x\in \boldsymbol{Z},且x\geq0\}$，所以$x^{2}\in A$。故$B\subseteq A$。

?问题导思
（阅读教材 P8，完成探究问题 2）
问题 2. 观察下面两个例子，回答问题：
①集合$A = \{1, 5, 6\}$，$B = \{5, 6\}$；
②集合$M = \{x \in \mathbf{R} \mid x^{2} - 2x + 2 = 0\}$.
(1)集合$A$中的元素都是集合$B$中的元素吗？集合$B$中的元素都是集合$A$中的元素吗？
(2)集合$M$中有多少个元素？

答案：
(1)不全是。$1\in A$，但$1\notin B$；集合$B$中的元素都是集合$A$中的元素。
(2)集合$M$中没有元素。

新知 构建
1. 真子集

［微提醒］ $A$是$B$的真子集的含义：$A，B$首先要满足$A \subseteq B$，其次至少有一个$x \in B$，但$x \notin A$.

答案： $ \in $ $A$ $A\subsetneqq B$或$B\supsetneqq A$

2. 集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即$A$$ \subseteq $$\subseteq A$.
(2)对于集合$A，B，C$，若$A \subseteq B$，且$B \subseteq C$，则$A$$ \subseteq $$\subseteq C$；若$A \subsetneqq B，B \subsetneqq C$，则$A$$ \subsetneqq $$\subsetneqq C$.

答案：
(1)$ \subseteq $　
(2)$ \subseteq $　$ \subsetneqq $

3. 空集

［微思考］ 能不能说空集是任何集合的真子集？

答案： 不含任何元素　子集　
[微思考]　不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集。

典例 2 （链教材 P8 例 1）写出集合$\{a，b，c\}$的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
听课笔记：

答案： 解:子集有$ \varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}$，
　其中真子集有$ \varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}$。

对点练 2. 若集合$A$满足$\{1，2\} \subseteq A \subsetneqq \{1，2，3，4，5\}$，则集合$A$所有可能的情形有 (C)

A.3 种
B.5 种
C.7 种
D.9 种

答案： 对点练2.C　由$\{1,2\}\subseteq A\subsetneqq \{1,2,3,4,5\}$，可知集合$A$必有元素，且至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能:$\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\},\{1,2,4,5\}$七种可能。故选C。