《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 2. 据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产总成本$y$(万元)可以看成月产量$x$(吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本$y$(万元)关于月产量$x$(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润?

答案： 解:
(1)设$ y = a(x - 15)^2 + 17.5(a \neq 0) $,
将$ x = 10 $,$ y = 20 $代入上式,得$ 20 = 25a + 17.5 $,解得$ a = \dfrac{1}{10} $.
所以$ y = \dfrac{1}{10}(x - 15)^2 + 17.5(10 \leq x \leq 25) $.
(2)设月利润为$ Q(x) $,
则$ Q(x) = 1.6x - y = 1.6x - \left[\dfrac{1}{10}(x - 15)^2 + 17.5\right] = -\dfrac{1}{10}(x - 23)^2 + 12.9(10 \leq x \leq 25) $.
所以月产量为23吨时,可获得最大利润为12.9万元.

典例 3 经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用$f(x)$表示学生的注意力，$x$表示授课时间(单位：分)，实验结果表明$f(x)$与$x$有如下关系：
$f(x)=\begin{cases}5x + 9,&0 ＜ x ＜ 10,\\59,&10\leqslant x\leqslant16,\\-3x + 107,&16 ＜ x\leqslant30.\end{cases}$
(1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中?能维持多长时间?
(2)若讲解某一道数学题需要 55 的注意力以及 10 分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题?
听课笔记：

答案： 解:
(1)由题意得,当$ 0 ＜ x ＜ 10 $时,$ f(x) = 5x + 9 $,此时函数单调递增;
当$ 10 \leq x \leq 16 $时,函数$ f(x) $取得最大值,此时$ f(x) = 59 $;
当$ 16 ＜ x \leq 30 $时,$ f(x) = -3x + 107 $,此时函数单调递减.
所以开始授课后10分钟,学生的注意力最集中,能维持6分钟.
(2)当$ 0 ＜ x ＜ 10 $时,令$ f(x) \geq 55 $,即$ 5x + 9 \geq 55 $,
解得$ 9.2 \leq x ＜ 10 $,集中注意力时间共$ 10 - 9.2 = 0.8 $(分钟);
当$ 10 \leq x \leq 16 $时,$ f(x) = 59 ＞ 55 $,集中注意力时间共6分钟;
当$ 16 ＜ x \leq 30 $时,令$ f(x) \geq 55 $,即$ -3x + 107 \geq 55 $,解得$ 16 ＜ x \leq \dfrac{52}{3} $.
则集中注意力时间共$ \dfrac{52}{3} - 16 = \dfrac{4}{3} $(分钟),
因为$ 0.8 + 6 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{122}{15} ＜ 10 $,
所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题.