《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P45—46，完成探究问题 2）
问题 $2$. 你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？

答案： 问题导思 2.关键看代数式是否具备：（1）转化为两个正数的和或积的形式；（2）和或积是否是一个定值；（3）不等式中的等号是否能取到。

(1) 若 $x ＞ 0$，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是 (A)

A.$4$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： （1）A 因为$x\gt0$，所以$\frac{4}{x}\gt0$，则$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x·\frac{4}{x}} = 4$，当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x = 2$时，等号成立，所以$x+\frac{4}{x}$的最小值为4。故选A。

(2) 若 $x + y = 40$，且 $x, y$ 都是正数，则 $xy$ 的最大值是400$\underline{\hspace{5em}}$.
听课笔记：

答案： （2）400 $xy\leq(\frac{x + y}{2})^{2}=400$，当且仅当$x = y = 20$时，等号成立，所以$xy$的最大值是400。

(1) 若 $x ＞ 0, y ＞ 0$，且 $xy = 4$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是 (A)

A.$1$
B.$2$
C.$-1$
D.$-2$

答案： （1）A 因为$x\gt0$，$y\gt0$，且$xy = 4$，所以$\frac{1}{x}\gt0$，$\frac{1}{y}\gt0$，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{x}·\frac{1}{y}} = 2\sqrt{\frac{1}{xy}} = 2×\frac{1}{2}=1$，当且仅当$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$，即$x = y = 2$时取等号。故选A。

(2) 若正实数 $x, y$ 满足 $2x + y = 1$，则 $xy$ 的最大值为 (B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{16}$

答案： （2）B 因为$2x + y\geq2\sqrt{2x· y}$，所以$1\geq2\sqrt{2xy}$，所以$xy\leq\frac{1}{8}$，当且仅当$2x = y=\frac{1}{2}$时取等号，即$xy$的最大值为$\frac{1}{8}$。故选B。

角度 $2$ 拼凑法求最值
典例 $3$
(1) 已知 $x ＞ 3$，求 $y = 2x + \frac{4}{2x - 6}$ 的最小值；
(2) 已知 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$，求 $y = \frac{1}{3}x(1 - 3x)$ 的最大值.
听课笔记：

答案： 典例3 解：（1）因为$x\gt3$，所以$2x - 6\gt0$，
所以$y = 2x+\frac{4}{2x - 6}=(2x - 6)+\frac{4}{2x - 6}+6\geq2\sqrt{(2x - 6)·\frac{4}{2x - 6}}+6 = 2×2 + 6 = 10$，
当且仅当$2x - 6=\frac{4}{2x - 6}$，即$x = 4$时取等号。
所以$y = 2x+\frac{4}{2x - 6}$的最小值是10。
（2）因为$0\lt x\lt\frac{1}{3}$，所以$1 - 3x\gt0$，
所以$y=\frac{1}{9}x×3x(1 - 3x)\leq\frac{1}{9}×(\frac{3x + 1 - 3x}{2})^{2}=\frac{1}{9}×\frac{1}{4}=\frac{1}{36}$，
当且仅当$3x = 1 - 3x$，即$x=\frac{1}{6}$时，等号成立。
所以$y=\frac{1}{3}x(1 - 3x)$的最大值为$\frac{1}{36}$。

(1) 已知 $a ＞ 1$，则 $2a + \frac{2}{a - 1}$ 的最小值为6$\underline{\hspace{5em}}$.

答案： （1）6 因为$a\gt1$，所以$a - 1\gt0$，所以$2a+\frac{2}{a - 1}=2 + 2(a - 1)+\frac{2}{a - 1}\geq2 + 2\sqrt{2(a - 1)·\frac{2}{a - 1}} = 6$，当且仅当$a = 2$时，等号成立，故$2a+\frac{2}{a - 1}$的最小值为6。

(2) 若 $0 ＜ x ＜ 4$，则 $y = x(8 - 2x)$ 的最大值为8$\underline{\hspace{5em}}$.

答案： （2）8 因为$0\lt x\lt4$，所以$8 - 2x\gt0$，所以$y = x(8 - 2x)=\frac{1}{2}·2x(8 - 2x)\leq\frac{1}{2}·(\frac{2x + 8 - 2x}{2})^{2}=8$，当且仅当$2x = 8 - 2x$，即$x = 2$时取等号。所以$y = x(8 - 2x)$的最大值为8。

(1) 设 $a, b$ 为正数，且 $a + b = 1$，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 (D)

A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： （1）D $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})×1 = (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})×(a + b)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\geq2 + 2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}} = 4$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时取等号，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4。故选D。