《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

(2)已知$2 ＜ x + y ＜ 5$，$3 ＜ x - y ＜ 6$.
①求$x$的取值范围；
②求$\frac{x - y}{x + y}$的取值范围；
③求$2x - 3y$的取值范围.

答案：
(2)①因为$2 ＜ x + y ＜ 5$，$3 ＜ x - y ＜ 6$，
所以$5 ＜ 2x ＜ 11$，则$\frac{5}{2} ＜ x ＜ \frac{11}{2}$。
②因为$2 ＜ x + y ＜ 5$，$3 ＜ x - y ＜ 6$，
所以$\frac{1}{5} ＜ \frac{1}{x + y} ＜ \frac{1}{2}$，所以$\frac{3}{5} ＜ \frac{x - y}{x + y} ＜ 3$。
③设$2x - 3y = m(x + y) + n(x - y)$，$m$，$n \in \mathbf{R}$，
则$2x - 3y = (m + n)x + (m - n)y$，
所以$\begin{cases} m + n = 2, \\ m - n = -3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -\frac{1}{2}, \\ n = \frac{5}{2}, \end{cases}$
所以$2x - 3y = -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{5}{2}(x - y)$，
因为$2 ＜ x + y ＜ 5$，所以$-\frac{5}{2} ＜ -\frac{1}{2}(x + y) ＜ -1$，①
因为$3 ＜ x - y ＜ 6$，所以$\frac{15}{2} ＜ \frac{5}{2}(x - y) ＜ 15$，②
①+②得$5 ＜ -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{5}{2}(x - y) ＜ 14$。即$5 ＜ 2x - 3y ＜ 14$。

典例2 (1)已知$x ＞ 1$，则$3x+\frac{1}{x - 1}$的最小值是2\sqrt{3} + 3.

答案： 典例2
(1)$2\sqrt{3} + 3$
(1)因为$x ＞ 1$，所以$x - 1 ＞ 0$，
所以$3x + \frac{1}{x - 1} = 3(x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 3 \geqslant 2\sqrt{3(x - 1) × \frac{1}{x - 1}} + 3 = 2\sqrt{3} + 3$，当且仅当$3(x - 1) = \frac{1}{x - 1}$，即$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立，
所以$3x + \frac{1}{x - 1}$的最小值是$2\sqrt{3} + 3$。

(2)已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，若$a^2 + 9b^2 + 3ab = 27$，则$a + 3b$的最大值为6.
听课笔记：

答案：
(2)6
(2)因为$a^2 + 9b^2 + 3ab = (a + 3b)^2 - 3ab \geqslant (a + 3b)^2 - \left( \frac{a + 3b}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}(a + 3b)^2$，
当且仅当$a = 3b$时，等号成立，所以$\frac{3}{4}(a + 3b)^2 \leqslant 27$。
则$0 ＜ a + 3b \leqslant 6$，所以$a + 3b$的最大值为6。

对点练2.(1)已知正数$x$，$y$满足$x + y = 1$，则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y + 1}$的最小值为\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}.

答案： 对点练2.
(1)$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$
(1)因为$x + y = 1$，所以$x + y + 1 = 2$，则$\frac{1}{x} + \frac{2}{y + 1} = \frac{1}{2} × \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{y + 1} \right) × (x + y + 1) = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{y + 1}{x} + \frac{2x}{y + 1} \right) \geqslant \frac{1}{2} \left( 3 + 2\sqrt{\frac{y + 1}{x} · \frac{2x}{y + 1}} \right) = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$\frac{y + 1}{x} = \frac{2x}{y + 1}$，即$x = 2\sqrt{2} - 2$，$y = 3 - 2\sqrt{2}$时等号成立，所以$\frac{1}{x} + \frac{2}{y + 1}$的最小值为$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$。

(2)已知$x ＞ 1$，$y ＞ 1$，则$\frac{(y + 1)^2}{x - 1}+\frac{(x + 1)^2}{y - 1}$的最小值为16.

答案：
(2)16
(2)由题意得$x - 1 ＞ 0$，$y - 1 ＞ 0$，令$m = x - 1$，$n = y - 1$，则$\frac{(y + 1)^2}{x - 1} + \frac{(x + 1)^2}{y - 1} = \frac{(n + 2)^2}{m} + \frac{(m + 2)^2}{n} \geqslant \frac{(2\sqrt{2n})^2}{m} + \frac{(2\sqrt{2m})^2}{n} = 8 \left( \frac{n}{m} + \frac{m}{n} \right) \geqslant 8 × 2\sqrt{\frac{n}{m} · \frac{m}{n}} = 16$，当且仅当$m = n = 2$时，两个等号同时成立，所以当$x = y = 3$时，$\frac{(y + 1)^2}{x - 1} + \frac{(x + 1)^2}{y - 1}$有最小值，为16。

典例3 解关于$x$的不等式$x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - 2) ＞ 0$.
听课笔记：

答案： 典例3 解：原不等式可化为$[x - (a + 1)][x - 2(a - 1)] ＞ 0$，
讨论$a + 1$与$2(a - 1)$的大小：
①当$a + 1 ＞ 2(a - 1)$，即$a ＜ 3$时，$x ＞ a + 1$或$x ＜ 2(a - 1)$。
②当$a + 1 = 2(a - 1)$，即$a = 3$时，$x \neq 4$。
③当$a + 1 ＜ 2(a - 1)$，即$a ＞ 3$时，$x ＞ 2(a - 1)$，或$x ＜ a + 1$。
综上：当$a ＜ 3$时，解集为$\{x \mid x ＞ a + 1$，或$x ＜ 2(a - 1)\}$。
当$a = 3$时，解集为$\{x \mid x \neq 4\}$。
当$a ＞ 3$时，解集为$\{x \mid x ＞ 2(a - 1)$，或$x ＜ a + 1\}$。

对点练3.(1)不等式$\frac{2x - 1}{x - 1}\geq1$的解集是(C)

A.$\{x|x\geq0\}$
B.$\{x|x\geq1$，或$x\leq0\}$
C.$\{x|x ＞ 1$，或$x\leq0\}$
D.$\{x|0\leq x ＜ 1\}$

答案： 对点练3.
(1)C
(1)不等式$\frac{2x - 1}{x - 1} \geqslant 1$可化为$\frac{x}{x - 1} \geqslant 0$，
则$\begin{cases} x(x - 1) \geqslant 0, \\ x - 1 \neq 0, \end{cases}$解得$x \leqslant 0$，或$x ＞ 1$，所以不等式$\frac{2x - 1}{x - 1} \geqslant 1$的解集为$\{x \mid x ＞ 1$，或$x \leqslant 0\}$。故选C。

(2)已知不等式$ax^2 + 5x - 2 ＞ 0$的解集是$M$.
①若$2\in M$，求$a$的取值范围；
②若$M = \{x|\frac{1}{2}＜ x ＜ 2\}$，求不等式$ax^2 - 5x + a^2 - 1 ＞ 0$的解集.

答案：
(2)①因为$a \in M$，所以$a × 2^2 + 5 × 2 - 2 ＞ 0$，解得$a ＞ -2$，即$a$的取值范围为$(-2, +\infty)$。
②因为$M = \left\{ x \mid \frac{1}{2} ＜ x ＜ 2 \right\}$，所以$a ＜ 0$，且$\frac{1}{2}$，$2$是方程$ax^2 + 5x - 2 = 0$的两个根，
由根与系数间的关系得$\begin{cases} \frac{1}{2} + 2 = -\frac{5}{a}, \\ \frac{1}{2} × 2 = -\frac{2}{a}, \end{cases}$
解得$a = -2$，所以不等式$ax^2 - 5x + a^2 - 1 ＞ 0$即为$-2x^2 - 5x + 3 ＞ 0$，即$2x^2 + 5x - 3 ＜ 0$，
对于方程$2x^2 + 5x - 3 = 0$，因为$\Delta ＞ 0$，所以它有两个不等的实数根，解得$x_1 = -3$，$x_2 = \frac{1}{2}$，
所以不等式$ax^2 - 5x + a^2 - 1 ＞ 0$的解集为$\left\{ x \mid -3 ＜ x ＜ \frac{1}{2} \right\}$。

典例4 已知函数$y = x^2 + ax + 3$.
(1)当$x\in R$时，$y\geq a$恒成立，求实数$a$的取值范围；
(2)当$a\in[4,6]$时，$y\geq0$恒成立，求实数$x$的取值范围.
听课笔记：

答案： 典例4 解：
(1)当$x \in \mathbf{R}$时，$x^2 + ax + 3 - a \geqslant 0$恒成立，
则$\Delta = a^2 - 4(3 - a) \leqslant 0$，即$a^2 + 4a - 12 \leqslant 0$，解得$-6 \leqslant a \leqslant 2$，
故实数$a$的取值范围为$\{a \mid -6 \leqslant a \leqslant 2\}$。
(2)将$y = x^2 + xa + 3$看作关于$a$的一次函数，
当$a \in [4, 6]$时，$y \geqslant 0$恒成立，只需在$a = 4$和$a = 6$时$y \geqslant 0$即可，
即$\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \geqslant 0, \\ x^2 + 6x + 3 \geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geqslant -1, 或 x \leqslant -3, \\ x \geqslant -3 + \sqrt{6}, 或 x \leqslant -3 - \sqrt{6}, \end{cases}$
解得$x \leqslant -3 - \sqrt{6}$，或$x \geqslant -3 + \sqrt{6}$。
故实数$x$的取值范围是$\{x \mid x \leqslant -3 - \sqrt{6}$，或$x \geqslant -3 + \sqrt{6}\}$。