《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 4（链教材 P72T3）
求下列函数的值域：
(1) $ f(x)=2x + 1 $，$ x\in\{1,2,3,4,5\} $；
(2) $ f(x)=x^{2} - 4x + 6 $，$ x\in[1,5) $；
(3) $ f(x)=\frac{3x - 1}{x + 1} $；
(4) $ f(x)=x + \sqrt{x} $。
听课笔记：

答案：
典例4 解：
(1)$x\in\{1,2,3,4,5\}$，分别代入求值，可得函数的值域为$\{3,5,7,9,11\}$。
(2)（图象法）$f(x)=x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2$，因为$x\in[1,5)$，如图所示 ，所以函数$f(x)$的值域为$[2,11)$。
(3)（分离常数法）$f(x)=\frac{3x - 1}{x + 1}=\frac{3(x + 1) - 4}{x + 1}= 3 - \frac{4}{x + 1}(x\neq -1)$，
显然$\frac{4}{x + 1}$可取到$0$以外的一切实数，
所以函数$f(x)$的值域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$。
(4)（换元法，配方法）设$u = \sqrt{x}(x\geqslant 0)$，则$x = u^2(u\geqslant 0)$，
故令$y = u^2 + u = \left(u + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}(u\geqslant 0)$。
由$u\geqslant 0$，可知$\left(u + \frac{1}{2}\right)^2\geqslant \frac{1}{4}$，所以$y\geqslant 0$，所以函数$f(x)=x + \sqrt{x}$的值域为$[0,+\infty)$。

求下列函数的值域：
(1) $ y=\frac{8}{x^{2}} $，$ x\in[1,2) $；
(2) $ y=x + \frac{4}{x}(x ＞ 0) $；
(3) $ y=\sqrt{-2x^{2} + x + 3} $。

答案： 对点练4 解：
(1)因为$1\leqslant x\lt 2$，所以$1\leqslant x^2\lt 4$，
所以$\frac{1}{4}\lt \frac{1}{x^2}\leqslant 1$，所以$2\lt \frac{8}{x^2}\leqslant 8$。所以函数的值域是$(2,8]$。
(2)因为$x\gt 0$，所以$x + \frac{4}{x}\geqslant 2\sqrt{x·\frac{4}{x}} = 4$（当且仅当$x = 2$时取等号），可知$y = x + \frac{4}{x}(x\gt 0)$的值域为$[4,+\infty)$。
(3)因为$y = \sqrt{-2x^2 + x + 3} = \sqrt{-2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{25}{8}}$，
所以$0\leqslant y\leqslant \frac{5\sqrt{2}}{4}$，所以函数的值域为$\left[0,\frac{5\sqrt{2}}{4}\right]$。

1. 不等式 $ x - 2\geqslant 0 $ 的所有解组成的集合表示成区间是()

A.$ (2,+\infty) $
B.$ [2,+\infty) $
C.$ (-\infty,2) $
D.$ (-\infty,2] $

答案： B

2. (多选)下列各组函数是同一个函数的是()

A.$ f(x)=\sqrt{-2x^{3}} $ 与 $ g(x)=x\sqrt{-2x} $
B.$ f(x)=x $ 与 $ g(x)=\sqrt{x^{2}} $
C.$ f(x)=x^{0} $ 与 $ g(x)=\frac{1}{x^{0}} $
D.$ f(x)=x^{2} - 2x - 1 $ 与 $ g(t)=t^{2} - 2t - 1 $

答案： CD

3. 下列函数中，值域为 $ (0,+\infty) $ 的是()

A.$ y=\sqrt{x} $
B.$ y=\frac{1}{\sqrt{x}} $
C.$ y=\frac{1}{x} $
D.$ y=x^{2} + 1 $

答案： B

4. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [1,+\infty) $，则函数 $ y=f(x - 1) + f(4 - x) $ 的定义域为()

A.$ (0,3) $
B.$ [0,3] $
C.$ (2,3) $
D.$ [2,3] $

答案： D