《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 5 (1)函数$y = x + \frac{2}{x}(x \geqslant 2)$的最小值为(C)

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{2}$

答案：
(1)C
(1)由对勾函数的性质可知$y = x + \frac{2}{x}$在$[2, +\infty)$上单调递增，所以$y_{\min} = 2 + \frac{2}{2} = 3$。故选C。

(2)已知函数$y = f(x)$, 其中$f(x) = x + \frac{a}{x}$.
①判断函数$y = f(x)$的奇偶性，并说明理由；
②若函数在区间$[1, +\infty)$上是严格增函数，求实数$a$的取值范围.
听课笔记：

答案：
(2)①$f(x)$是奇函数，理由如下：
$f(x) = x + \frac{a}{x}$的定义域为$\{x | x \neq 0\}$，
对$\forall x \in \{x | x \neq 0\}$，$f(-x) = -x + \frac{a}{-x} = -\left( x + \frac{a}{x} \right) = -f(x)$，
此时$f(-x) = -f(x)$，
故函数$y = f(x)$是奇函数。
②设$x_{2} ＞ x_{1} \geq 1$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2}) = \left( x_{1} + \frac{a}{x_{1}} \right) - \left( x_{2} + \frac{a}{x_{2}} \right)$
$ = (x_{1} - x_{2}) + \left( \frac{a}{x_{1}} - \frac{a}{x_{2}} \right)$
$ = x_{1} - x_{2} + \frac{a(x_{2} - x_{1})}{x_{1}x_{2}} = \frac{(x_{1} - x_{2})(x_{1}x_{2} - a)}{x_{1}x_{2}}$，
因为$x_{2} ＞ x_{1} \geq 1$，所以$x_{1}x_{2} ＞ 1$，$x_{1} - x_{2} ＜ 0$，
若$y = f(x)$为$[1, +\infty)$上的增函数，则$f(x_{1}) - f(x_{2}) ＜ 0$成立，
则$x_{1}x_{2} - a ＞ 0$成立，所以$a ＜ x_{1}x_{2}$成立，解得$a \leq 1$，
所以实数$a$的取值范围是$(-\infty, 1]$。

1. 若幂函数$y = x^{m}$与$y = x^{n}$在第一象限内的图象如图所示，则 (B)


A.$- 1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1$
B.$n ＜ - 1, 0 ＜ m ＜ 1$
C.$- 1 ＜ n ＜ 0, m ＞ 1$
D.$n ＜ - 1, m ＞ 1$

答案： 1. B

2. (2025·山东烟台高一期末诊断)已知幂函数$f(x)$的图象经过点$(2, \frac{1}{4})$, 则 (C)

A.$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$
B.$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$
C.$f(x)$为偶函数
D.$f(x)$是其定义域上的减函数

答案： 2. C

3. 已知幂函数$y = (m^{2} - 3)x^{m}$的图象不过原点，则实数$m$的取值为 (A)

A.$- 2$
B.0
C.2
D.2或$- 2$

答案： 3. A

4. 幂函数$y = f(x)$的图象过点$(2, \sqrt{2})$, 则函数$y = x - f(x)$的值域是 (C)

A.$(-\infty, +\infty)$
B.$(-\infty, \frac{1}{4})$
C.$[-\frac{1}{4}, +\infty)$
D.$(-\frac{1}{4}, +\infty)$

答案： 4. C