《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

（阅读教材 P82－85，完成探究问题）
问题. 填写下表：

(1)观察函数$f(x),g(x)$的自变量$x$互为相反数时，函数值之间各有什么关系？
(2)观察函数$f(x),g(x)$的图象各有什么特点？

答案：
(1)$f(-x)=f(x)$；$g(-x)=-g(x)$。
(2)函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称，$g(x)$的图象关于原点对称。

新知 构建
函数的奇偶性

答案： $f(-x)=-f(x)$　原点　$f(-x)=f(x)$　$y$轴

[微思考] 1. 奇、偶函数的定义域有什么特点？
2. 若奇函数$f(x)$在$x = 0$处有定义，则$f(0)$的值是多少？
3. 若函数$y = f(x)$与$y = g(x)$的图象关于$y$轴对称，则$f(x),g(x)$是偶函数吗？

答案： [微思考]　1.定义域关于原点对称。
2.$f(0)=0$。
3.不是偶函数，只有自身的图象关于$y$轴对称的函数才是偶函数。

典例1（链教材 P84 例 6）判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)= -|x|$；
(2)$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1 - x^{2}}$；
(3)$f(x)=\frac{x}{x - 1}$；(4)$f(x)=x - \frac{1}{x}$.
听课笔记：

答案： 解:
(1)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，
　又$f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$，
　所以$f(x)$为偶函数。
(2)函数$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称，且$f(x)=0$，
　又$f(-x)=-f(x)$，$f(-x)=f(x)$，
　所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
(3)函数$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq 1\}$，不关于原点对称，
　所以$f(x)$是非奇非偶函数。
(4)函数$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq 0\}$，
　因为$\forall x\in \{x\mid x\neq 0\}$，都有$-x\in \{x\mid x\neq 0\}$，
　且$f(-x)=-x-\dfrac{1}{-x}=-\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=-f(x)$，
　所以$f(x)$是奇函数。