《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
（阅读教材 P172-173，完成探究问题 1）
问题 1. 在初中学过的角度制中，1 度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？

答案： 1.1度的角等于周角的$\frac{1}{360}$.圆心角是确定的.

新知 构建
1. 弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度.
2. 弧度数的计算
在半径为$r$的圆中，弧长为$l$的弧所对的圆心角为$\alpha rad$，那么$|\alpha| = \frac{l}{r}$.
3. 一般地，正角的弧度数是一个正实数，负角的弧度数是一个负实数，零角的弧度数是0.

答案： 1.半径 圆弧 3.正数 负数 0

典例 1 下列各命题中，真命题是 (D)

A.1 弧度就是$1^{\circ}$的圆心角所对的弧
B.1 弧度是长度等于半径的弧
C.1 弧度是$1^{\circ}$的弧与$1^{\circ}$的角之和
D.1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
听课笔记：

答案： 1. D 根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确.

对点练 1. 下列说法正确的是 (A)
A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B. 大圆中 1 弧度的圆心角比小圆中 1 弧度的圆心角大
C. 所有圆心角为 1 弧度的角所对的弧长都相等
D. 用弧度表示的角都是正角

答案： 1.A 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.故选A.

?问题导思
（阅读教材 P173，完成探究问题 2）
问题 2. 根据公式$|\alpha| = \frac{l}{r}$，你能得出周角的弧度数吗？由周角的角度数与弧度数的大小，你能得出角度与弧度的换算关系吗？

答案： 2.因为半径为$r$的圆的周长为$l = 2\pi r$，故周角的弧度数是$2\pi$，而周角的角度数是$360^{\circ}$，于是我们有了弧度与角度的换算关系：$2\pi = 360^{\circ}$，即$\pi = 180^{\circ}$.