《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例1
(链教材P40练习T1)
(1) 某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案$A$为一次性投资300万；方案$B$为第一年投资80万，以后每年投资20万。下列不等式表示“经过$n$年之后，方案$B$的投入不少于方案$A$的投入”的是(D)
A.$80 + 20n\geq 300$
B.$80 + 20n\leq 300$
C.$80 + 20(n - 1)\leq 300$
D.$80 + 20(n - 1)\geq 300$

答案：
(1)D
(1)经过$ n $年后,方案$ B $的投入为$ 80 + 20(n - 1) $，则“经过$ n $年之后，方案$ B $的投入不少于方案$ A $的投入”用不等式表示为$ 80 + 20(n - 1)\geqslant 300 $，故选D。

(2) 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于96m²，靠墙的一边长为$x$m。试用不等式(组)表示其中的不等关系是。
听课笔记：

答案：
(2)$\begin{cases}0＜ x\leqslant 18,\\x\left(15-\dfrac{x}{2}\right)\geqslant 96\end{cases}$
(2)因为矩形菜园靠墙的一边长为$ x\ m $，而墙长为$ 18\ m $，所以$ 0 ＜ x\leqslant 18 $。这时菜园的另一条边长为$ \dfrac{30 - x}{2}=\left(15 - \dfrac{x}{2}\right)m $，因此菜园的面积$ S = x\left(15 - \dfrac{x}{2}\right) $，依题意有$ S\geqslant 96 $，即$ x\left(15 - \dfrac{x}{2}\right)\geqslant 96 $。故该题中的不等关系可用不等式组表示为$\begin{cases}0 ＜ x\leqslant 18,\\x\left(15 - \dfrac{x}{2}\right)\geqslant 96\end{cases}$。

(1) 下列说法正确的是(C)

A.某人的月收入$x$不高于2000元可表示为“$x＜2000$”
B.小红的身高$x$cm，小明的身高$y$cm，则小红比小明高可表示为“$x＜y$”
C.某变量$x$至少是$a$可表示为“$x\geq a$”
D.某变量$y$不超过$a$可表示为“$y\geq a$”

答案：
(1)C
(1)某人的月收入$ x $不高于$ 2000 $元可表示为“$ x\leqslant 2000 $”，故A错误；小红的身高$ x\ cm $，小明的身高$ y\ cm $，则小红比小明高可表示为“$ x ＞ y $”，故B错误；某变量$ x $至少是$ a $可表示为“$ x\geqslant a $”，故C正确；某变量$ y $不超过$ a $可表示为“$ y\leqslant a $”，故D错误。故选C。

(2) 李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元。设$x$个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数$x$的不等式是$ 30x + 60\geqslant 400 $。

答案：
(2)$ 30x + 60\geqslant 400 $
(2)由题意知，$ x $个月后所存的钱数为$ (30x + 60) $元，由于存的钱数不少于$ 400 $元，故不等式为$ 30x + 60\geqslant 400 $。

问题导思
（阅读教材P38，完成探究问题2）
问题2. 给定两个实数(或代数式)$a$，$b$，如何比较它们的大小？

答案： 问题导思 2.可作差比较。若$ a - b ＞ 0 $，则$ a ＞ b $；
若$ a - b = 0 $，则$ a = b $；若$ a - b ＜ 0 $，则$ a ＜ b $。

新知构建
两个实数大小的基本事实

答案： $a - b ＞ 0$；$a - b = 0$；$a - b ＜ 0$；差

典例2
(链教材P38例1)
(1) 设$M = 5a² - a + 1$，$N = 4a² + a - 1$，则(A)
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M = N$
D.$M$，$N$的大小关系不确定

答案：
(1)A
(1)$ M - N = 5a^{2} - a + 1 - (4a^{2} + a - 1) = a^{2} - 2a + 2 = (a - 1)^{2} + 1\geqslant 1 ＞ 0 $，所以$ M ＞ N $。故选A。

(2) 已知$a$，$b\in\mathbf{R}$，试比较$a³ - b³$与$ab² - a²b$的大小。
听课笔记：

答案：
(2)$ a^{3} - b^{3} - (ab^{2} - a^{2}b) = a^{3} - b^{3} - ab^{2} + a^{2}b = a^{2}(a + b) - b^{2}(a + b) = (a^{2} - b^{2})(a + b) = (a - b)· (a + b)^{2} $。
当$ a\geqslant b $时，$ a - b\geqslant 0 $，又$ (a + b)^{2}\geqslant 0 $，
故$ a^{3} - b^{3}\geqslant ab^{2} - a^{2}b $；
当$ a ＜ b $时，$ a - b ＜ 0 $，又$ (a + b)^{2}\geqslant 0 $，
故$ a^{3} - b^{3}\leqslant ab^{2} - a^{2}b $。