《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例3 若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且 $\dfrac{1}{2a + b} + \dfrac{1}{b + 1} = 1$，求 $a + 2b$ 的最小值.
听课笔记：

答案： 解：令$ \begin{cases}2a + b = m\\b + 1 = n\end{cases} $，解得$ \begin{cases}a=\frac{m - n + 1}{2}\\b = n - 1\end{cases} $，
所以$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1 $，$ a + 2b=\frac{m}{2}+\frac{3n}{2}-\frac{3}{2} $，
因为$ \frac{m}{2}+\frac{3n}{2}=\left(\frac{m}{2}+\frac{3n}{2}\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)=2+\frac{m}{2n}+\frac{3n}{2m}\geq2+\sqrt{3} $，当且仅当$ \frac{m}{2n}=\frac{3n}{2m} $，即$ m = \sqrt{3}n＞0 $时取等号，
所以$ a + 2b=\frac{m}{2}+\frac{3n}{2}-\frac{3}{2}\geq\sqrt{3}+\frac{1}{2} $。
故$ a + 2b $的最小值为$ \sqrt{3}+\frac{1}{2} $。

对点练1 (1)已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 8y = xy$，则 $x + 2y$ 的最小值为18.
(2)已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 2y + 2xy = 8$，$x + 2y$ 的最小值为4.
(3)已知 $x$，$y$ 为正实数，则 $\dfrac{2y}{x} + \dfrac{9x}{2x + y}$ 的最小值为6\sqrt{2}-4.

答案： 对点练$1 (1)18 (2)4 (3)6\sqrt{2}-4$

典例4 已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，若不等式 $\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant \dfrac{m}{2a + b}$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值等于(B)

A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$

答案： B

对点练2 若两个正实数 $x$，$y$ 满足 $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 1$，并且 $x + 2y ＞ 4 + 2m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是{m|m ＜ 2}.

答案： 对点练2 $ \{m|m ＜ 2\} $ 因为$ x＞0,y＞0 $，且$ \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 $，所以$ x + 2y=(x + 2y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=2+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}+2\geq4 + 2\sqrt{\frac{4y}{x}·\frac{x}{y}} = 8 $，当且仅当$ \frac{4y}{x}=\frac{x}{y} $，即$ 4y^2 = x^2 $时等号成立。由$ x + 2y＞4 + 2m $恒成立，可知$ 4 + 2m ＜ 8 $，解得$ m ＜ 2 $，所以实数$ m $的取值范围是$ \{m|m ＜ 2\} $。

典例5 已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且 $abc = 1$，$a$，$b$，$c$ 不全相等，求证：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} ＞ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$.
听课笔记：

答案： 证明：因为$ a＞0,b＞0,c＞0 $，
所以$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}} $①，当且仅当$ a = b $时等号成立，
$ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{\sqrt{bc}} $②，当且仅当$ b = c $时等号成立，
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{\sqrt{ac}} $③，当且仅当$ a = c $时等号成立，
由①$ + $②$ + $③，得$ 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right) $，当且仅当$ a = b = c $时等号成立，
所以$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{abc}} $，
又$ abc = 1 $，且$ a,b,c $不全相等，
所以$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} $。

对点练3 已知 $x$，$y$ 都是正数，求证：$(x + y)(x² + y²)(x³ + y³) \geqslant 8x³y³$.

答案： 证明：因为$ x,y $都是正数，
所以$ x^2＞0,y^2＞0,x^3＞0,y^3＞0 $，
所以$ x + y\geq2\sqrt{xy}＞0 $，$ x^2 + y^2\geq2\sqrt{x^2y^2}＞0 $，$ x^3 + y^3\geq2\sqrt{x^3y^3}＞0 $，当且仅当$ x = y $时等号成立，
所以$ (x + y)(x^2 + y^2)(x^3 + y^3)\geq2\sqrt{xy}·2\sqrt{x^2y^2}·2\sqrt{x^3y^3} $
$ = 8x^3y^3 $，
即$ (x + y)(x^2 + y^2)(x^3 + y^3)\geq8x^3y^3 $，
当且仅当$ x = y $时，等号成立。

1. 设 $t = a + 2b$，$s = a + b² + 1$，则 $t$ 与 $s$ 的大小关系是(A)

A.$s \geqslant t$
B.$s ＞ t$
C.$s \leqslant t$
D.$s ＜ t$

答案： 1. A

2. 若正数 $x$，$y$ 满足 $x + 4y - xy = 0$，则 $\dfrac{3}{x + y}$ 的最大值为(A)

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{3}{8}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$1$

答案： 2. A

3. 已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且 $2a + b = ab - 1$，则 $a + 2b$ 的最小值为5+2\sqrt{6}.

答案： $3. 5+2\sqrt{6}$

4. 设 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a + b = 5$，则 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3}$ 的最大值为3\sqrt{2}.

答案： $4. 3\sqrt{2}$