《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 下列不等式：
①$x^{2}＞0$;
②$-x^{2}-x\leq5$;
③$ax^{2}＞2$;
④$x^{3}+5x - 6＞0$;
⑤$mx^{2}-5y＜0$;
⑥$ax^{2}+bx + c＞0$.
其中是一元二次不等式的有 (D)

A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个

答案： 1.D

2. 不等式$9x^{2}+6x + 1\leq0$的解集是 (D)

A.$\left\{x\left|x\neq-\frac{1}{3}\right.\right\}$
B.$\left\{x\left|-\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{3}\right.\right\}$
C.$\varnothing$
D.$\left\{x\left|x = -\frac{1}{3}\right.\right\}$

答案： 2.D

3. 不等式$3 + 5x - 2x^{2}\leq0$的解集为 (C)

A.$\left\{x\left|x＞3,或x＜-\frac{1}{2}\right.\right\}$
B.$\left\{x\left|-\frac{1}{2}\leq x\leq3\right.\right\}$
C.$\left\{x\left|x\geq3,或x\leq-\frac{1}{2}\right.\right\}$
D.R

答案： 3.C

4. 若$0＜m＜1$，则不等式$(x - m)(x-\frac{1}{m})＜0$的解集为$\left\{x\mid m＜x＜\frac{1}{m}\right\}$.

答案： 4.$\left\{x\mid m＜x＜\frac{1}{m}\right\}$

典例1 解下列不等式：
(1) $\frac{x + 1}{3 - x} \geq 0$；(2) $\frac{5x + 1}{x + 1} ＞ 4$.
听课笔记：

答案： 解:
(1)不等式$\frac{x + 1}{3 - x} \geq 0$等价于$\begin{cases}(x + 1)(x - 3) \leq 0, \\ x \neq 3. \end{cases}$ 解不等式组得$-1 \leq x \lt 3$。 故原不等式的解集为$\{x \mid -1 \leq x \lt 3\}$。
(2)不等式$\frac{5x + 1}{x + 1} \gt 4$等价于$\frac{5x + 1}{x + 1} - 4 \gt 0$， 即$\frac{5x + 1 - 4(x + 1)}{x + 1} \gt 0$，整理得$\frac{x - 3}{x + 1} \gt 0$。 即$\begin{cases}(x - 3)(x + 1) \gt 0, \\ x + 1 \neq 0, \end{cases}$解不等式得$x \lt -1$，或$x \gt 3$。 故原不等式的解集为$\{x \mid x \lt -1$，或$x \gt 3\}$。

对点练1 解下列不等式：
(1) $\frac{2x + 1}{1 - x} ＜ 0$；(2) $\frac{x + 1}{2x - 3} \leq 1$.

答案： 解：
(1)$\frac{2x + 1}{1 - x} \lt 0 \Leftrightarrow (2x + 1)(1 - x) \lt 0$， 不等式等价于$\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 1) \gt 0$， 解得$x \gt 1$，或$x \lt -\frac{1}{2}$。 故原不等式的解集为$\left\{x \mid x \gt 1$，或$x \lt -\frac{1}{2}\right\}$。
(2)因为$\frac{x + 1}{2x - 3} \leq 1$，所以$\frac{x + 1}{2x - 3} - 1 \leq 0$，所以$\frac{-x + 4}{2x - 3} \leq 0$， 则$(4 - x)(2x - 3) \leq 0$且$2x \neq 3$， 所以$(x - 4)\left(x - \frac{3}{2}\right) \geq 0$且$x \neq \frac{3}{2}$， 从而$x \lt \frac{3}{2}$或$x \geq 4$。 故原不等式的解集为$\left\{x \mid x \lt \frac{3}{2}$，或$x \geq 4\right\}$。