《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 5 (1) 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2f(\frac{1}{x}) = x$，求 $f(x)$ 的解析式；
(2) 已知 $af(x)+f( - x)=bx$，其中 $a\neq\pm1$，求 $f(x)$ 的解析式.
听课笔记：

答案： 解:
(1)在已知等式中，将$ x $换成$\dfrac{1}{x}$，
得$ f\left(\dfrac{1}{x}\right) + 2f(x) = \dfrac{1}{x} $，与已知方程联立，
得$\begin{cases} f(x) + 2f\left(\dfrac{1}{x}\right) = x \\ f\left(\dfrac{1}{x}\right) + 2f(x) = \dfrac{1}{x} \end{cases}$，消去$ f\left(\dfrac{1}{x}\right) $，得$ f(x) = -\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3x} $。
(2)在原式中以$-x$替换$ x $，得$ af(-x) + f(x) = -bx $，
于是得$\begin{cases} af(x) + f(-x) = bx \\ af(-x) + f(x) = -bx \end{cases}$，消去$ f(-x) $，得$ f(x) = \dfrac{bx}{a - 1} $。
所以函数$ f(x) $的解析式为$ f(x) = \dfrac{b}{a - 1}x $，$ a \neq \pm 1 $。

对点练 3. (1) 已知函数 $f(x)$ 是二次函数，且满足 $f(0)=1$，$f(x + 1)-f(x)=2x$，求 $f(x)$ 的解析式；
(2) 已知 $f(\frac{1 + x}{x})=\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的解析式.

答案： 解:
(1)设$ f(x) = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $。
因为$ f(0) = 1 $，所以$ c = 1 $。
又因为$ f(x + 1) - f(x) = 2x $，
所以$ a(x + 1)^2 + b(x + 1) + 1 - (ax^2 + bx + 1) = 2x $，
整理，得$ 2ax + a + b = 2x $。
由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等，
所以$\begin{cases} 2a = 2 \\ a + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases}$，
所以所求函数的解析式为$ f(x) = x^2 - x + 1 $。
(2)法一(换元法):令$ t = \dfrac{1 + x}{x} = \dfrac{1}{x} + 1 $，则$ t \neq 1 $，$ x = \dfrac{1}{t - 1} $。
由$ f\left(\dfrac{1 + x}{x}\right) = \dfrac{1 + x^2}{x^2} + \dfrac{1}{x} $，得$ f(t) = \dfrac{1 + \left(\dfrac{1}{t - 1}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{t - 1}\right)^2} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{t - 1}} = (t - 1)^2 + 1 + (t - 1) = t^2 - t + 1 $。
所以所求函数的解析式为$ f(x) = x^2 - x + 1(x \neq 1) $。
法二(配凑法):因为$ f\left(\dfrac{1 + x}{x}\right) = \dfrac{1 + x^2}{x^2} + \dfrac{1}{x} = \left(\dfrac{1 + x}{x}\right)^2 - \dfrac{1 + x - x}{x} = \left(\dfrac{1 + x}{x}\right)^2 - \dfrac{1 + x}{x} + 1 $，所以$ f(x) = x^2 - x + 1 $。
又因为$\dfrac{1 + x}{x} = \dfrac{1}{x} + 1 \neq 1$，
所以所求函数的解析式为$ f(x) = x^2 - x + 1(x \neq 1) $。

1. 一个面积为 $100\ cm^2$ 的等腰梯形，上底长为 $x\ cm$，下底长为上底长的 3 倍. 设它的高为 $y\ cm$，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 (C)

A.$y = 50x(x＞0)$
B.$y = 100x(x＞0)$
C.$y = \frac{50}{x}(x＞0)$
D.$y = \frac{100}{x}(x＞0)$

答案： C

2. 已知 $f(x)$ 是一次函数，且 $f( - 2)= - 1$，$f(0)+f(2)=10$，则 (C)

A.$f(x)=3x + 5$
B.$f(x)=3x + 2$
C.$f(x)=2x + 3$
D.$f(x)=2x - 3$

答案： C

3. 若 $f(g(x)) = 6x + 1$，且 $g(x)=2x + 1$，则 $f(x)=$ (C)

A.3
B.3$x$
C.3$x - 2$
D.3$x - 3$

答案： C

4. (双空题)已知函数 $f(x)$ 的图象是如图所示的曲线段 $OAB$，其中 $O(0,0)$，$A(1,2)$，$B(3,1)$，则 $f(\frac{1}{f(3)}) =$，函数 $g(x)=f(x)-\frac{3}{2}$ 的图象与 $x$ 轴交点的个数为.

请完成课时分层评价 18

答案： 2 2