《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

(1) 已知$ M $，$ N $均为$ \mathbf{R} $的子集，且$ (\complement_{\mathbf{R}} M) \subseteq N $，则$ M \cup (\complement_{\mathbf{R}} N) = $(B)

A.$ \varnothing $
B.$ M $
C.$ N $
D.$ \mathbf{R} $

答案：
(1)B
(1)因为$(\complement_{\mathbf{R}}M)\supseteq N$，所以$M\supseteq (\complement_{\mathbf{R}}N)$，所以$M\cup (\complement_{\mathbf{R}}N) = M$. 故选 B.

(2) 已知全集$ U = \{ x | x ＜ 10, x \in \mathbf{N}^* \} $，$ A = \{ 2, 4, 5, 8 \} $，$ B = \{ 1, 3, 5, 8 \} $，求$ \complement_U (A \cup B) $，$ \complement_U (A \cap B) $，$ (\complement_U A) \cap (\complement_U B) $，$ (\complement_U A) \cup (\complement_U B) $.

答案：
(2)由题意得$A\cup B = \{1,2,3,4,5,8\}$，$A\cap B = \{5,8\}$，$U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，
所以$\complement_{U}(A\cup B) = \{6,7,9\}$，
$\complement_{U}(A\cap B) = \{1,2,3,4,6,7,9\}$.
所以$(\complement_{U}A)\cap (\complement_{U}B) = \complement_{U}(A\cup B) = \{6,7,9\}$，
$(\complement_{U}A)\cup (\complement_{U}B) = \complement_{U}(A\cap B) = \{1,2,3,4,6,7,9\}$.

典例3
设集合$ A = \{ x | x + m \geq 0 \} $，$ B = \{ x | -2 ＜ x ＜ 4 \} $，全集$ U = \mathbf{R} $，且$ (\complement_U A) \cap B = \varnothing $，求实数$ m $的取值范围.
听课笔记：
[变式探究]
1. （变条件）将本例条件“$ (\complement_U A) \cap B = \varnothing $”改为“$ (\complement_U A) \cap B \neq \varnothing $”，其他条件不变，则实数$ m $的取值范围是什么？
2. （变条件）将本例条件“$ (\complement_U A) \cap B = \varnothing $”改为“$ (\complement_U B) \cup A = \mathbf{R} $”，其他条件不变，则实数$ m $的取值范围是什么？

答案：
解：法一(直接法)：由$A = \{x\mid x + m\geqslant 0\} = \{x\mid x\geqslant -m\}$，得$\complement_{U}A = \{x\mid x\lt -m\}$.因为$B = \{x\mid -2\lt x\lt 4\}$，$(\complement_{U}A)\cap B = \varnothing$，在数轴上表示集合$B$，$\complement_{U}A$如图.所以$-m\leqslant -2$，即$m\geqslant 2$，所以实数$m$的取值范围是$\{m\mid m\geqslant 2\}$.法二(集合间的关系)：由$(\complement_{U}A)\cap B = \varnothing$可知$B\subseteq A$，又$B = \{x\mid -2\lt x\lt 4\}$，$A = \{x\mid x + m\geqslant 0\} = \{x\mid x\geqslant -m\}$，结合数轴：得$-m\leqslant -2$，即$m\geqslant 2$，所以实数$m$的取值范围是$\{m\mid m\geqslant 2\}$.
@@1.解：由已知得$A = \{x\mid x\geqslant -m\}$，所以$\complement_{U}A = \{x\mid x\lt -m\}$，又$(\complement_{U}A)\cap B\neq \varnothing$，所以$-m\gt -2$，解得$m\lt 2$.故实数$m$的取值范围为$\{m\mid m\lt 2\}$.2.解：由已知得$A = \{x\mid x\geqslant -m\}$，$\complement_{U}B = \{x\mid x\leqslant -2,或x\geqslant 4\}$.又$(\complement_{U}B)\cup A = \mathbf{R}$，所以$-m\leqslant -2$，解得$m\geqslant 2$.故实数$m$的取值范围为$\{m\mid m\geqslant 2\}$.

(1) 设$ U = \{ 0, 1, 2, 3 \} $，$ A = \{ x | x^2 + mx = 0 \} $，若$ \complement_U A = \{ 1, 2 \} $，则实数$ m = $$-3$.

答案：
(1)$-3$
(1)因为$U = \{0,1,2,3\}$，$\complement_{U}A = \{1,2\}$，所以$A = \{0,3\}$. 又$A = \{x\mid x^{2} + mx = 0\} = \{0,-m\}$，故$m = -3$.

(2) 已知全集$ U = \mathbf{R} $，$ A = \{ x | 1 \leq x ＜ b \} $，$ \complement_U A = \{ x | x ＜ 1 $，或$ x \geq 2 \} $，则实数$ b = $$2$.

答案：
(2)2
(2)因为$\complement_{U}A = \{x\mid x\lt 1,或x\geqslant 2\}$，所以$A = \{x\mid 1\leqslant x\lt 2\}$. 所以$b = 2$.