《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

新知构建
1. 一般区间的表示
设$ a,b\in\mathbf{R} ，$且 a ＜ b ，规定如下：

答案： 新知构建
1. $(a,b)$ $(a,b]$

2. 特殊区间的表示

答案： 2. $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

典例 1
把下列数集用区间表示：
(1) $ \{x|x\geqslant -1\} $；
(2) $ \{x|x ＜ 0\} $；
(3) $ \{x|-1 ＜ x ＜ 1\} $；
(4) $ \{x|0 ＜ x ＜ 1 $，或 $ 2\leqslant x\leqslant 4\} $。
听课笔记：

答案： 典例1 解：
(1) $\{x\mid x\geqslant -1\} = [-1,+\infty)$。
(2) $\{x\mid x\lt 0\} = (-\infty,0)$。
(3) $\{x\mid -1\lt x\lt 1\} = (-1,1)$。
(4) $\{x\mid 0\lt x\lt 1,或 2\leqslant x\leqslant 4\} = (0,1)\cup[2,4]$。

对点练 1
(1) 集合 $ \{x|-2 ＜ x\leqslant 2 $，且 $ x\neq 0\} $ 用区间表示为$(-2,0)\cup(0,2]$。
(2) 已知区间 $ (a^{2} + a + 1,7] $，则实数 $ a $ 的取值范围是$(-3,2)$。

答案： 对点练1.
(1) $(-2,0)\cup(0,2]$
(2) $(-3,2)$
(1) $\{x\mid -2\lt x\leqslant 2,且 x\neq 0\} = (-2,0)\cup(0,2]$
(2)由题意可知$a^2 + a + 1\lt 7$，即$a^2 + a - 6\lt 0$，解得$-3\lt a\lt 2$，所以实数$a$的取值范围是$(-3,2)$。

（阅读教材 P66，完成探究问题 2）
问题 2. 构成函数的要素有哪些？函数 $ f(x)=\sqrt{x^{2}} $ 与 $ g(x)=|x| $ 的对应关系与定义域是否分别相同？

答案： 问题导思 2. 构成函数的要素有定义域、对应关系和值域；函数$f(x)=\sqrt{x^2}$和$g(x)=|x|$的对应关系与定义域分别相同。

新知构建

答案： 相同；对应关系

典例 2(链教材 P66 例 3)(多选)
下列各组函数是同一个函数的是(AD)

A.$ f(x)=x + 2 $，$ g(x)=\sqrt[3]{x^{3}} + 2 $
B.$ f(x)=\frac{x^{2} - 9}{x - 3} $，$ g(x)=(\sqrt{x})^{2} + 3 $
C.$ f(x)=x^{2} + 2(x - 1)^{0} $，$ g(x)=x^{2} + 2 $
D.$ f(x)=\sqrt{x} + \frac{1}{x} $，$ g(t)=\sqrt{t} + \frac{1}{t} $

答案： 典例2 AD 对于A，$f(x)=x + 2$与$g(x)=\sqrt[3]{x^3}+2 = x + 2$，两函数的定义域均为$\mathbf{R}$，对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，故A正确；对于B，$f(x)=\frac{x^2 - 9}{x - 3}$的定义域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$，函数$g(x)=(\sqrt{x})^2 + 3$的定义域为$[0,+\infty)$，两函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数，故B错误；对于C，$f(x)=x^2 + 2(x - 1)^0$的定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，$g(x)=x^2 + 2$的定义域为$\mathbf{R}$，两函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数，故C错误；对于D，$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$与$g(t)=\sqrt{t}+\frac{1}{t}$，两函数的定义域均为$(0,+\infty)$，对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，故D正确。故选AD。