《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3 定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足对任意 $ x,y \in \mathbf{R} $，恒有 $ f(x + y)=f(x)+f(y) $，且当 $ x＞0 $ 时，有 $ f(x)＞0 $.
(1)试判断 $ f(x) $ 的奇偶性，并加以证明；
(2)试判断 $ f(x) $ 的单调性，并加以证明；
(3)若对于 $ \forall t \in \mathbf{R} $，不等式 $ f(t - t^{2})-f(k)＜0 $ 恒成立，求实数 $ k $ 的取值范围.
听课笔记：

答案： 解:
(1)f(x)是奇函数.理由如下:
　取x=y=0,则f
(0)=2f
(0),所以f
(0)=0.
　对任意x∈R,取y=−x,则f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)=f
(0)=
　0,即f(−x)=−f(x),
　又∀x∈R,都有−x∈R,所以f(x)是R上的奇函数.
(2)f(x)在R上单调递增.理由如下:
　任取x₁,x₂∈R，令x₁＜x₂,则x₂−x₁＞0,
　又当x＞0时,f(x)＞0,知f(x₂−x₁)＞0,
　因为对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),
　所以f(x₂)=f(x₂−x₁+x₁)=f(x₂−x₁)+f(x₁)＞f(x₁),
　即f(x₂)＞f(x₁),
　所以f(x)在R上单调递增.
(3)∀t∈R,不等式f(t−t²)−f(k)＜0恒成立等价于f(t−t²)＜f(k),所以t−t²＜k恒成立,所以k＞(t−t²)ₘₐₓ
　因为t−t²=−(t−$\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$,所以k＞$\frac{1}{4}$.
　故实数k的取值范围为($\frac{1}{4}$,+∞).

已知函数 $ f(x) $ 对任意的 $ a,b \in \mathbf{R} $，都有 $ f(a + b)=f(a)+f(b)-1 $，并且当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)＞1 $.
(1)求证：$ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数；
(2)若 $ f(4)=5 $，解不等式 $ f(3m^{2}-m - 2)＜3 $.

答案： 解:
(1)证明:任取x₁,x₂∈R,且x₁＜x₂,则x₂−x₁＞0,又当x ＞0时,f(x)＞1,知f(x₂−x₁)＞1.
　因为函数f(x)对∀a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)−1,
　所以f(x₂)=f(x₂−x₁+x₁)=f(x₂−x₁)+f(x₁)−1＞1+f(x₁)−1 =f(x₁),
　所以f(x)是R上的增函数.
(2)由题意知f
(4)=f(2+2)=2f
(2)−1=5,
　所以f
(2)=3,所以f(3m²−m−2)＜3=f
(2).
　由
(1)可知f(x)是R上的增函数,
　所以3m²−m−2＜2,即3m²−m−4＜0,所以−1＜m＜$\frac{4}{3}$.
　故不等式f(3m²−m−2)＜3的解集为(−1,$\frac{4}{3}$).

1. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $，下列说法中正确的个数是(C)
① $ f(x)+f(-x) $ 是偶函数；② $ f(x)-f(-x) $ 是奇函数；③ $ f(x)f(-x) $ 是偶函数；④ $ f(|x|) $ 是偶函数；⑤ $ |f(x)| $ 是偶函数.

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案： 1.C

2. 已知函数 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数，且 $ f(x)=f(4 - x) $，当 $ -2 \leq x＜0 $ 时，$ f(x)=\frac{1}{x} $，则 $ f(\frac{7}{2}) $ 等于(D)

A.$ -2 $
B.$ -\frac{2}{7} $
C.$ \frac{2}{7} $
D.$ 2 $

答案： 2.D

3. 函数 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ P(a,b) $ 成中心对称图形的充要条件是函数 $ y = f(x + a)-b $ 为奇函数，则函数 $ f(x)=x^{3}+3x^{2} $ 图象的对称中心是(D)

A.$ (1,4) $
B.$ (1,-2) $
C.$ (-1,4) $
D.$ (-1,2) $

答案： 3.D

4. 定义在 $ (-1,1) $ 上的函数 $ f(x) $ 满足：①对于任意 $ x,y \in (-1,1) $ 都有 $ f(x)+f(y)=f(\frac{x + y}{1 + xy}) $；② $ f(x) $ 在 $ (-1,1) $ 上单调递增，且 $ f(\frac{1}{2})=1 $.
(1)求 $ f(0) $；
(2)证明 $ f(x) $ 为奇函数；
(3)解不等式 $ f(2x - 1)＜1 $.

答案： 4.解:
(1)因为∀x,y∈(−1,1),f(x)+f(y)=f($\frac{x + y}{1 + xy}$),
　令x=y=0,则f
(0)+f
(0)=f
(0),
　因此f
(0)=0.
(2)证明:令y=−x,则对任意x∈(−1,1),
　有f(x)+f(−x)=f
(0)=0,所以f(−x)=−f(x).
　又∀x∈(−1,1),都有−x∈(−1,1),故y=f(x)是奇函数,
(3)因为f(x)在(−1,1)上单调递增，且f($\frac{1}{2}$)=1
　所以f(2x−1)＜1=f($\frac{1}{2}$)可化为$\begin{cases} -1 ＜ 2x - 1 ＜ 1, \\ 2x - 1 ＜ \frac{1}{2}, \end{cases}$
　解得0＜x＜$\frac{3}{4}$.
　所以不等式f(2x−1)＜1的解集为$\left\{ x \mid 0 ＜ x ＜ \frac{3}{4} \right\}$