《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

求下列函数的定义域：
(1)$y = \dfrac{\sqrt{-x}}{2x^2 - 3x - 2}$；
(2)$y = \sqrt{x(x - 1)} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

答案： 解：
(1)由题意得，$ \begin{cases} -x\geqslant 0, \\ 2x^{2} - 3x - 2\neq 0, \end{cases} $即$ \begin{cases} x\leqslant 0, \\ x\neq 2 且 x\neq -\dfrac{1}{2}, \end{cases} $所以函数的定义域为$ \left\{x\mid x\leqslant 0, 且 x\neq -\dfrac{1}{2}\right\} $.
(2)要使函数有意义，则$ \begin{cases} x(x - 1)\geqslant 0, \\ x ＞ 0, \end{cases} $解得$ x\geqslant 1 $，所以函数的定义域为$ \{x\mid x\geqslant 1\} $.

典例3
(1)(双空题)已知函数$y = f(x)$的图象如图所示，则该函数的定义域为$ \{x\mid -2\leqslant x\leqslant 4\} $，值域为$ \{y\mid -2\leqslant y\leqslant 3\} $.

答案：
(1)$ \{x\mid -2\leqslant x\leqslant 4\} $ $ \{y\mid -2\leqslant y\leqslant 3\} $
(1)根据函数$ y = f(x) $的图象知，定义域为$ \{x\mid -2\leqslant x\leqslant 4\} $，值域为$ \{y\mid -2\leqslant y\leqslant 3\} $.

(2)已知函数$f(x)$由下表给出，则$f\left(10f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$的值为


A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案：
(2)D
(2)因为$ \dfrac{1}{2}\in \{x\mid x\leqslant 1\} $，所以$ f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 $，则$ 10f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 10 $，所以$ f\left(10f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) = f(10) $.又因为$ 10\in \{x\mid x\geqslant 2\} $，所以$ f(10) = 3 $.因此$ f\left(10f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right) = 3 $.故选D.

对点练3
(1)(双空题)已知$f(x) = \dfrac{1}{1 + x}(x \in \mathbf{R}$，且$x \neq -1)$，$g(x) = x^2 + 2(x \in \mathbf{R})$，则$f(2) =$$ \dfrac{1}{3} $，$f(g(2)) =$$ \dfrac{1}{7} $.

答案：
(1)$ \dfrac{1}{3} $ $ \dfrac{1}{7} $
(1)因为$ f(x) = \dfrac{1}{1 + x} $，所以$ f(2) = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3} $.又因为$ g(x) = x^{2} + 2 $，所以$ g(2) = 2^{2} + 2 = 6 $，所以$ f(g(2)) = f(6) = \dfrac{1}{1 + 6} = \dfrac{1}{7} $.

(2)已知函数$f(x) = \sqrt{x} - 1$，且$f(a) = 3$，则$a =$16.

答案：
(2)16
(2)因为$ f(x) = \sqrt{x} - 1 $，所以$ f(a) = \sqrt{a} - 1 $.又因为$ f(a) = 3 $，所以$ \sqrt{a} - 1 = 3 $，$ a = 16 $.

典例4
(链教材P63例1)已知矩形的面积为$10$，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系：

(1)$y = \dfrac{10}{x}$；
(2)$y = 2x + \dfrac{20}{x}$；
听课笔记：设矩形的长为$ x $，宽为$ y $，那么$ y = \dfrac{10}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y ＞ 0\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的宽$ \dfrac{10}{x} $.
设矩形的长为$ x $，周长为$ y $，那么$ y = 2x + \dfrac{20}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y\geqslant 4\sqrt{10}\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的周长$ 2x + \dfrac{20}{x} $.
(3)$y = \dfrac{\sqrt{x^4 + 100}}{x}$.
听课笔记：设矩形的长为$ x $，对角线长为$ y $，那么$ y = \dfrac{\sqrt{x^{4} + 100}}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y\geqslant 2\sqrt{5}\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的对角线长$ \dfrac{\sqrt{x^{4} + 100}}{x} $.

答案： 解：
(1)设矩形的长为$ x $，宽为$ y $，那么$ y = \dfrac{10}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y ＞ 0\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的宽$ \dfrac{10}{x} $.
(2)设矩形的长为$ x $，周长为$ y $，那么$ y = 2x + \dfrac{20}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y\geqslant 4\sqrt{10}\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的周长$ 2x + \dfrac{20}{x} $.
(3)设矩形的长为$ x $，对角线长为$ y $，那么$ y = \dfrac{\sqrt{x^{4} + 100}}{x} $.其中$ x $的取值范围$ A = \{x\mid x ＞ 0\} $，$ y $的取值范围$ B = \{y\mid y\geqslant 2\sqrt{5}\} $，对应关系$ f $把每一个矩形的长$ x $，对应到唯一确定的对角线长$ \dfrac{\sqrt{x^{4} + 100}}{x} $.