《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P26，完成探究问题 1）
问题 1. 给出下列四个语句：
(1)$x＞3$；
(2)$2x + 1$是整数；
(3)对所有的$x \in \mathbf{R},x ＞ 3$；
(4)对任意一个$x \in \mathbf{Z},2x + 1$是整数.
以上四个语句都是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

答案： 问题导思 1.
(1)
(2)不是命题,
(3)
(4)是命题;语句
(3)在
(1)的基础上,用短语“所有的”对变量$ x $进行限定;语句
(4)在
(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量$ x $进行限定,从而使
(3)
(4)成为可以判断真假的语句.

新知 构建

［微提醒］ 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.

答案： 所有的 任意一个 $ \boldsymbol{\forall} $ 全称 任意一个 $ \boldsymbol{\forall x\in M} $

典例 1（链教材 P27 例 1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对$(x,y)$都对应一点；
(2)自然数的平方大于或等于零；
(3)对任意实数$x_1,x_2$，若$x_1 ＜ x_2$，都有$x_1^2 ＜ x_2^2$.
听课笔记：

答案： 典例1 解:
(1)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中,任意有序实数对$ (x,y) $与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)省略了全称量词,可以表示为$ \forall n\in\mathbf{N},n^{2}\geqslant0 $.故是全称量词命题,且该命题是真命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.因为当$ x_{1}=-5,x_{2}=-3 $时,满足$ x_{1}\lt x_{2} $,但$ (-5)^{2}\gt(-3)^{2} $,所以该命题是假命题.

对点练 1. (1)命题“对任意一个实数$x,x^2 + 2x + 1$都不小于零”，用数学符号表示为$ \boldsymbol{\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 1\geqslant0} $.
(2)判断下列全称量词命题的真假：
①所有能被 6 整除的自然数也能被 2 整除；
②$\forall x \in \mathbf{R},2x ＞ x ＞ 1$.

答案： 对点练1.
(1)$ \boldsymbol{\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 1\geqslant0} $
(1)含有全称量词“任意一个”,用符号“$ \forall $”表示,“不小于零”就是“$ \geqslant0 $”,因此该命题用数学符号表示为“$ \forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 1\geqslant0 $”.
(2)①因为能被6整除的自然数可以写成$ 6n,n\in\mathbf{N} $,且$ 6n = 2×(3n),3n\in\mathbf{N} $,所以$ 6n $能被2整除,该命题是真命题.
②$ 2x\gt x - 1\Rightarrow x\gt - 1 $,故$ x\leqslant1 $时不成立,该命题是假命题.