《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 5 若函数$f(x) = -x^2 - 2(a + 1)x + 3$在区间$(-\infty,3]$上是增函数，求实数$a$的取值范围.
听课笔记：
[变式探究]
1. (变条件) 把本例中的“在区间$(-\infty,3]$上是增函数”改为“的单调递增区间是$(-\infty,3]$”，求实数$a$的值.
2. (变条件) 把本例中的“是增函数”改为“不单调”，求实数$a$的取值范围.

答案： 解:因为f(x)=−x²−2(a + 1)x + 3的开口向下,要使f(x)在(−∞,3]上是增函数,只需−(a + 1)≥3,即a≤−4.
　所以实数a的取值范围为(−∞,−4].
[变式探究]　1.解:f(x)=−x²−2(a + 1)x + 3=−(x + a + 1)²+(a + 1)²+3.
　因此函数的单调递增区间为(−∞,−a−1],
　由题意得−a−1=3,解得a = −4.
2.解:由题意,得−(a + 1)＜3,即a＞−4,
　所以实数a的取值范围为(−4,+∞).

对点练 5. 设$f(x) = \begin{cases}x^2, & x ＞ 1, \\ (4 - \frac{a}{2})x - 1, & x \leq 1.\end{cases}$若$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数，则实数$a$的取值范围为 ______ .

答案： [4,8)　因为f(x)是R上的增函数,所以$ \begin{cases} 4 - \frac{a}{2} ＞ 0, \\ 4 - \frac{a}{2} - 1 \leq 1, \end{cases} $ 解得$ 4 \leq a ＜ 8 $。

1. 已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域上单调递增的函数图象是 (B)

答案： 1.B

2. 设函数$y = f(x)$满足：对任意的$x_1,x_2 \in \mathbf{R}$都有$\frac{x_1 - x_2}{f(x_1) - f(x_2)} ＞ 0$，则$f(-3)$与$f(-\pi)$的大小关系是 (A)

A.$f(-3) ＞ f(-\pi)$
B.$f(-3) \geq f(-\pi)$
C.$f(-3) ＜ f(-\pi)$
D.$f(-3) \leq f(-\pi)$

答案： 2.A

3. 若函数$f(x) = ax^2 + x + a$在$[1, +\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是[0,+∞).

答案： 3.[0,+∞)

4. (双空题) 已知$f(2x - 3) ＞ f(5x - 6)$，若函数$f(x)$是$(-\infty, +\infty)$上的增函数，则实数$x$的取值范围为(−∞,1). 若函数$f(x)$是定义在$(0, +\infty)$上的减函数，则实数$x$的取值范围为$ \left( \frac{3}{2}, +\infty \right) $.

答案： 4.(−∞,1)　$ \left( \frac{3}{2}, +\infty \right) $