《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 2
(链教材 P81 例 5)已知函数 $ f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} $。
(1)判断函数 $ f(x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上的单调性，并证明；
(2)求函数 $ f(x) $ 在区间 $ [2, 5] $ 上的最大值和最小值。
听课笔记：

答案： 典例2 解：
(1)函数$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减。
证明：任取$x_1,x_2\in(1,+\infty)$，且$x_1\lt x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{x_1}{x_1^2 + 1}-\dfrac{x_2}{x_2^2 + 1}=\dfrac{(x_1 - x_2)(1 - x_1x_2)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$。
因为$1\lt x_1\lt x_2$，所以$x_1 - x_2\lt0$，$x_1x_2\gt1$。
所以$f(x_1)-f(x_2)\gt0$，即$f(x_1)\gt f(x_2)$。
所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减。
(2)由
(1)知$f(x)$在$[2,5]$上单调递减，
所以$f(x)_{max}=f(2)=\dfrac{2}{5}$，所以$f(x)_{min}=f(5)=\dfrac{5}{26}$。

已知函数 $ f(x) = x + \dfrac{m}{x} $，且 $ f(1) = 5 $。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)判断函数 $ f(x) $ 在 $ (2, +\infty) $ 上的单调性，并证明；
(3)求 $ f(x) $ 在 $ \left[\dfrac{5}{2}, \dfrac{10}{3}\right] $ 上的值域。

答案： 对点练2 解：
(1)由$f(1)=5$可知$f(1)=1 + m = 5$， 解得$m = 4$。
(2)函数$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。
证明：由
(1)可得$f(x)=x+\dfrac{4}{x}$，
任取$x_1,x_2\in(2,+\infty)$，且$x_1\lt x_2$，则
$f(x_1)-f(x_2)=x_1+\dfrac{4}{x_1}-\left(x_2+\dfrac{4}{x_2}\right)$
$=x_1 - x_2+\dfrac{4}{x_1}-\dfrac{4}{x_2}=x_1 - x_2+\dfrac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$
$=(x_1 - x_2)\left(1 - \dfrac{4}{x_1x_2}\right)$。
因为$x_1\lt x_2$，所以$x_1 - x_2\lt0$，
由$x_1,x_2\in(2,+\infty)$，可得$1 - \dfrac{4}{x_1x_2}\gt0$，
所以$(x_1 - x_2)\left(1 - \dfrac{4}{x_1x_2}\right)\lt0$，即$f(x_1)\lt f(x_2)$。
因此函数$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。
(3)由
(2)知$f(x)$在$\left[\dfrac{5}{2},\dfrac{10}{3}\right]$上单调递增，
所以$f(x)_{max}=f\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{10}{3}+\dfrac{12}{10}=\dfrac{68}{15}$，
$f(x)_{min}=f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{41}{10}$。
所以$f(x)$在$\left[\dfrac{5}{2},\dfrac{10}{3}\right]$上的值域为$\left[\dfrac{41}{10},\dfrac{68}{15}\right]$。

典例 3
(链教材 P80 例 4)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
$R(x) = \begin{cases} 400x - \dfrac{1}{2}x^2 & (0 \leq x \leq 400), \\ 80000 & (x ＞ 400). \end{cases}$
其中 x 是仪器的月产量。
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x) ；
听课笔记：
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益 = 总成本 + 利润)
听课笔记：

答案： 典例3 解：
(1)由题意可知，总成本为$20\ 000 + 100x$，
从而$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x^2 + 300x - 20\ 000(0\leqslant x\leqslant400),\\60\ 000 - 100x(x\gt400).\end{cases}$
(2)当$0\leqslant x\leqslant400$时，$f(x)=-\dfrac{1}{2}(x - 300)^2 + 25\ 000$；
所以当$x = 300$时，$f(x)_{max}=25\ 000$。
当$x\gt400$时，$f(x)=60\ 000 - 100x$是减函数，
$f(x)\lt60\ 000 - 100×400\lt25\ 000$。
所以当$x = 300$时，$f(x)_{max}=25\ 000$。
即当月产量为$300$台时，公司所获利润最大，最大利润为$25\ 000$元。