《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 3. 若 $3^x = 4^y = 6^z \neq 1$，求证：$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{z}$.

答案： 对点练3. 证明：设$3^{x}=4^{y}=6^{z}=m(m\gt 0)$，则$m\neq 1$且$x = \log_{3}m$，$y = \log_{4}m$，$z = \log_{6}m$，
所以$\frac{1}{x}=\log_{m}3$，$\frac{1}{y}=\log_{m}4$，$\frac{1}{z}=\log_{m}6$，所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\log_{m}3+\log_{m}2=\log_{m}6$，
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\frac{1}{z}$。

典例 4 分贝是计量声音强度相对大小的单位. 物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压 $P_0 = 2 × 10^{-5}$ 帕作为参考声压，把所要测量的声压 $P$ 与参考声压 $P_0$ 的比值取常用对数后乘 20 得到的数值称为声压级. 声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝 (dB). 分贝值在 60 以下为噪音无害区，说明声音环境优良，60～110 为噪音过渡区，110 以上为噪音有害区.
(1) 试列出声压级 $y$ 与声压 $P$ 的函数关系式；
(2) 某地声压 $P = 0.002$ 帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
听课笔记：

答案： 典例4 解：
(1)由已知得$y = 20\lg\frac{P}{P_{0}}$(其中$P_{0}=2× 10^{-5}$)。
(2)当$P = 0.002$时，$y = 20\lg\frac{0.002}{2× 10^{-5}}=20\lg 10^{2}=40$(分贝)。
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良。

对点练 4. 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过 $0.1\%$. 若初始时含杂质 $2\%$，每过滤一次可使杂质含量减少 $\frac{1}{3}$，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：$\lg 2 \approx 0.3010$, $\lg 3 \approx 0.4771$) (C)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 对点练4. C 设至少需要过滤$n$次，则$2\%×\left(1 - \frac{1}{3}\right)^{n}\leq 0.1\%$，即$\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\leq\frac{1}{20}$。所以$n\lg\frac{2}{3}\leq\lg\frac{1}{20}$，即$n(\lg 2 - \lg 3)\leq -\lg 20$，即$n\geq\frac{-\lg(10× 2)}{\lg 2 - \lg 3}=\frac{1 + \lg 2}{\lg 3 - \lg 2}\approx 7.4$。又$n\in\mathbf{N}$，所以$n\geq 8$。所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求，故选C。

1. 计算 $2\log_6 3 + \log_6 4 = \underline{\hspace{5em}}$

A.2
B.$\log_6 2$
C.$\log_6 3$
D.3

答案： 1. A

2. $\log_{64} 32 = \underline{\hspace{5em}}$

A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{6}{5}$

答案： 2. C

3. 已知 $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$，则 $\log_3 6 = \underline{\hspace{5em}}$

A.$\frac{a + b}{a}$
B.$\frac{a + b}{b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$

答案： 3. B

4. (2025·江苏南通高一期末) 设 $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$. 若 $2025 = 100^c$，则 $c =$$2b - a + 1$$\underline{\hspace{5em}}$.（结果用 $a, b$ 表示）

答案： 4. $2b - a + 1$