《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 2. 已知集合$A=\{x\mid x＜-1$，或$x\geq1\}$，$B=\{x\mid 2a＜x\leq a+1,a＜1\}$，若$B\subseteq A$，则实数$a$的取值范围为{ a∣ a＜ -2,或 1/2≤ a＜1}.

答案：
$\left\{a\mid a\lt - 2,或\frac{1}{2}\leq a\lt1\right\}$
因为$a\lt1$，所以$2a\lt a + 1$，所以$B\neq\varnothing$。画数轴如图所示，

由$B\subseteq A$知，$a + 1\lt - 1$或$2a\geq1$，解得$a\lt - 2$或$a\geq\frac{1}{2}$。由已知$a\lt1$，所以$a\lt - 2$或$\frac{1}{2}\leq a\lt1$，故实数$a$的取值范围是$\left\{a\mid a\lt - 2,或\frac{1}{2}\leq a\lt1\right\}$。

典例 3　(多选)已知集合$A=\{x\mid x＜2\}$，$B=\{x\mid 3-2x＞0\}$，则 (AB)

A.$A\cap B=\{x\mid x＜\frac{3}{2}\}$
B.$A\cap(\complement_{\mathbf{R}} B)=\{x\mid \frac{3}{2}\leq x＜2\}$
C.$A\cup B=\{x\mid x＜\frac{3}{2}\}$
D.$(\complement_{\mathbf{R}} A)\cup B=\mathbf{R}$

答案： AB
因为$A = \{ x\mid x\lt2\}$，$B = \{ x\mid3 - 2x\gt0\} = \left\{x\mid x\lt\frac{3}{2}\right\}$，$\complement_{\mathbf{R}}A = \{ x\mid x\geq2\}$，$\complement_{\mathbf{R}}B = \left\{x\mid x\geq\frac{3}{2}\right\}$，所以$A\cap B = \left\{x\mid x\lt\frac{3}{2}\right\}$，故A正确；$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B) = \left\{x\mid\frac{3}{2}\leq x\lt2\right\}$，故B正确；$A\cup B = \{ x\mid x\lt2\}$，故C错误；$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B = \left\{x\mid x\lt\frac{3}{2},或x\geq2\right\}$，故D错误。故选AB。

对点练 3. (双空题)已知集合$A=\{x\mid -3＜x\leq6\}$，$B=\{x\mid b-3＜x＜b+7\}$，$M=\{x\mid -4\leq x＜5\}$，全集$U=\mathbf{R}$.
(1)$A\cap M=${ x∣ -3＜ x＜5}；
(2)若$B\cup(\complement_U M)=\mathbf{R}$，则实数$b$的取值范围为{ b∣ -2≤ b＜ -1}.

答案：
(1)$\{ x\mid - 3\lt x\lt5\}$
(2)$\{ b\mid - 2\leq b\lt - 1\}$
(1)因为$A = \{ x\mid - 3\lt x\leq6\}$，$M = \{ x\mid - 4\leq x\lt5\}$，所以$A\cap M = \{ x\mid - 3\lt x\lt5\}$。
(2)因为$M = \{ x\mid - 4\leq x\lt5\}$，所以$\complement_{\mathbf{R}}M = \{ x\mid x\lt - 4,或x\geq5\}$，又$B = \{ x\mid b - 3\lt x\lt b + 7\}$，$B\cup(\complement_{\mathbf{R}}M) = \mathbf{R}$，所以$\begin{cases}b - 3\lt - 4\\b + 7\geq5\end{cases}$，解得$-2\leq b\lt - 1$。所以实数$b$的取值范围是$\{ b\mid - 2\leq b\lt - 1\}$。

典例 4　(1)“$a=-1$”是“函数$y=ax^2 +2x-1$的图象与$x$轴只有一个交点”的 (B)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)B
(1)当$a = 0$时，函数$y = ax^{2}+2x - 1 = 2x - 1$的图象与$x$轴只有一个交点；当$a\neq0$时，令$\Delta = 2^{2}-4× a×(-1) = 0$，得$a = - 1$，故函数$y = ax^{2}+2x - 1$的图象与$x$轴只有一个交点时，$a = - 1$或$a = 0$。所以“$a = - 1$”是“函数$y = ax^{2}+2x - 1$的图象与$x$轴只有一个交点”的充分不必要条件。故选B。

(2)设集合$U=\{(x,y)\mid x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$，$A=\{(x,y)\mid 2x-y+m＞0,m\in \mathbf{R}\}$，$B=\{(x,y)\mid x+y-n\leq0,n\in \mathbf{R}\}$，则$(2,3)\in[A\cap(\complement_U B)]$的充要条件是 (A)

A.$m＞-1,n＜5$
B.$m＜-1,n＜5$
C.$m＞-1,n＞5$
D.$m＜-1,n＞5$
听课笔记：

答案：
(2)A
(2)由题意可得$A\cap(\complement_{U}B) = \left\{(x,y)\mid\begin{cases}2x - y + m\gt0\\x + y - n\gt0\end{cases}\right\}$，因为$(2,3)\in[A\cap(\complement_{U}B)]$，所以$\begin{cases}2×2 - 3 + m\gt0\\2 + 3 - n\gt0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m\gt - 1\\n\lt5\end{cases}$，反之也成立，所以$(2,3)\in[A\cap(\complement_{U}B)]$的充要条件是$m\gt - 1$，$n\lt5$。故选A。

对点练 4. (1)设$a\in \mathbf{R}$，则“$a=1$”是“$a^2 =a$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)A
(1)由$a^{2}=a$得$a = 1$或$a = 0$，反之，由$a = 1$得$a^{2}=a$，则“$a = 1$”是“$a^{2}=a$”的充分不必要条件。故选A。

(2)已知集合$A=\{x\mid -1＜x＜3\}$，$B=\{x\mid x_1＜x＜x_2\}$，其中$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于$x$的方程$x^2 -2x-a^2 +1=0$的两个不同的实数根.
①是否存在实数$a$，使得“$x\in A$”是“$x\in B$”的充要条件？若存在，求出$a$的取值范围，若不存在，请说明理由；
②若“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件，求$a$的取值范围.

答案：
(2)①存在，$a = \pm2$；②$\{ a\mid - 2\lt a\lt0,或0\lt a\lt2\}$
①假设存在满足条件的实数$a$，则$B = A$，即$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 3$。因为$x_{1}$，$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2x - a^{2}+1 = 0$的两个不同的实数根，所以$-1×3 = - a^{2}+1$，即$a^{2}=4$，解得$a = \pm2$，故当$a = \pm2$时，“$x\in A$”是“$x\in B$”的充要条件。
②关于$x$的方程$x^{2}-2x - a^{2}+1 = 0$的两根分别为$1 - a$和$1 + a$。因为“$x\in A$”是“$x\in B$”的必要不充分条件，所以$B\subsetneqq A$。
当$1 - a\gt1 + a$，即$a\lt0$时，$B = \{ x\mid1 + a\lt x\lt1 - a\}$，则$\begin{cases}1 + a\gt - 1\\1 - a\lt3\end{cases}$，解得$-2\lt a\lt0$；
当$1 - a\lt1 + a$，即$a\gt0$时，$B = \{ x\mid1 - a\lt x\lt1 + a\}$，则$\begin{cases}1 - a\gt - 1\\1 + a\lt3\end{cases}$，解得$0\lt a\lt2$。
综上，$a$的取值范围是$\{ a\mid - 2\lt a\lt0,或0\lt a\lt2\}$。

典例 5　(1)若命题$p:\forall x\in \{x\mid 1\leq x\leq5\}$，$x^2 -4x＞5$，则$\neg p$为 (A)

A.$\exists x\in \{x\mid 1\leq x\leq5\}$，$x^2 -4x\leq5$
B.$\exists x\notin \{x\mid 1\leq x\leq5\}$，$x^2 -4x\leq5$
C.$\forall x\notin \{x\mid 1\leq x\leq5\}$，$x^2 -4x\leq5$
D.$\forall x\in \{x\mid 1\leq x\leq5\}$，$x^2 -4x\leq5$

答案：
(1)A
(1)原命题为全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即$\exists x\in\{ x\mid1\leq x\leq5\}$，$x^{2}-4x\leq5$。故选A。