《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P3—5，完成探究问题 2）
问题 2. 你能用列举法表示不等式$x - 7 ＜ 3$的解集吗？如果不能，该如何表示不等式$x - 7 ＜ 3$的解集呢？

答案： 不等式$x - 7 \lt 3$的解是$x \lt 10$,因为满足$x \lt 10$的实数有无数个,所以$x - 7 \lt 3$的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即$x$是实数,且$x \lt 10$,把解集表示为$\{x \in \mathbf{R} \mid x \lt 10\}$.

新知 构建
1. 描述法
设$A$是一个集合，把集合$A$中所有具有共同特征$P(x)$的元素$x$所组成的集合表示为$\{x \in A \mid P(x)\}$，这种表示集合的方法称为描述法. 有时也用冒号或分号代替竖线，写成$\{x \in A;P(x)\}$或$\{x \in A;P(x)\}$.
2. 用描述法表示的集合的结构

答案： 1.$\{x \in A \mid P(x)\}$ $\{x \in A;P(x)\}$ $\{x \in A;P(x)\}$

（链教材 P4 例 2）用描述法表示下列集合：
(1) 不等式$2x - 7 ＜ 2025$的解集$A$；
(2) 二次函数$y = x^{2} + 1$的函数值组成的集合$B$；
(3) 被 3 除余 2 的正整数的集合$C$；
(4) 平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合$D$.
听课笔记：

答案： 解:
(1)解$2x - 7 \lt 2025$得$x \lt 1016$,
所以集合$A = \{x \mid x \lt 1016\}$.
(2)函数值组成的集合就是$y$的取值集合,
所以集合$B = \{y \mid y = x^2 + 1,x \in \mathbf{R}\}$.
(3)被3除余2的正整数可以表示为$3n + 2(n \in \mathbf{N})$,所以集合$C = \{x \mid x = 3n + 2,n \in \mathbf{N}\}$.
(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0,所以集合$D = \{(x,y) \mid xy = 0,x \in \mathbf{R},y \in \mathbf{R}\}$.

对点练 2. 用描述法表示下列集合：
(1) 小于 10 的非负整数构成的集合；
(2) 数轴上与原点的距离大于 3 的点构成的集合；
(3) 平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4) 集合$\{1,3,5,7,·s\}$.

答案： 解:
(1)小于10的非负整数构成的集合,用描述法可表示为$\{x \in \mathbf{Z} \mid 0 \leq x \lt 10\}$.
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为$\{x \mid |x| \gt 3\}$.
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为$\{(x,y) \mid xy \lt 0\}$.
(4)集合$\{1,3,5,7,·s\}$用描述法可表示为$\{x \mid x = 2k - 1,k \in \mathbf{N}^*\}$.