《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 1. 计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
(1)$(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}})^{2\sqrt{3}}$；
(2)$a^{\frac{\pi}{3}}a^{\frac{2\pi}{3}}a^{-\pi}$.

答案： 解:
(1)原式$ =\left(2^{\sqrt{3}}· m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2\sqrt{3}}=2^{6}· m^{3}=64m^{3} $.
(2)原式$ =a^{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\pi}=a^{0}=1 $.

【典例 2】从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应用水填满4次后才能使酒精的浓度低于 10%.
听课笔记：

答案： 4 由题意,得第$ n $次操作后溶液的浓度为$ \left(1-\frac{1}{2}\right)^{n} $,令$ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}＜\frac{1}{10} $,验证可得$ n\geq 4 $.所以至少应用水填满4次后才能使酒精的浓度低于$ 10\% $.

对点练 2. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每 10 分钟分裂一次(1 个分裂成 2 个)，那么经过 1 小时，一个这种细菌可以分裂成64个.

答案： 64 经过1小时可分裂6次,可分裂成$ 2^{6}=64 $(个).

【典例 3】已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1)$a + a^{-1}$；
(2)$a^{2}+a^{-2}$.
听课笔记：
【变式探究】(变设问)在本例条件下，$a^{2}-a^{-2}=$\pm 3\sqrt{5}.

答案： 解:
(1)将$ a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5} $两边平方,得$ a + a^{-1}+2 = 5 $,即$ a + a^{-1}=3 $.
(2)将$ a + a^{-1}=3 $两边平方,得$ a^{2}+a^{-2}+2 = 9 $,即$ a^{2}+a^{-2}=7 $.
[变式探究] $ \pm 3\sqrt{5} $ 令$ y = a^{2}-a^{-2} $,两边平方,得$ y^{2}=a^{4}+a^{-4}-2=(a^{2}+a^{-2})^{2}-4 = 7^{2}-4 = 45 $,所以$ y=\pm 3\sqrt{5} $,即$ a^{2}-a^{-2}=\pm 3\sqrt{5} $.

对点练 3. 已知$3^{a}=2$，$3^{b}=5$，则$3^{2a - b}=$\frac{4}{5}.

答案： $\frac{4}{5} $ $ 3^{2a - b}=\frac{(3^{a})^{2}}{3^{b}}=\frac{4}{5} $.