《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例2 （链教材 P118 习题 T1）求下列函数的定义域和值域：
(1)$y = 2^{\frac{1}{x}}$；(2)$y = \sqrt{1 - 3^{x}}$；
(3)$y = \left( \frac{2}{3} \right)^{\sqrt{- |x|}}$；(4)$y = 4^{x} + 2^{x + 1} + 3$.
听课笔记：

答案： 典例2 解:
(1)因为 $x$ 满足 $x \neq 0$，所以定义域为 $\{x|x \neq 0\}$。
因为 $\frac{1}{x} \neq 0$，所以 $y=2^{\frac{1}{x}} \neq 1$。
所以 $y=2^{\frac{1}{x}}$ 的值域为 $\{y|y＞0$，且 $y \neq 1\}$。
(2)要使函数式有意义，则 $1 - 3^{x} \geq 0$，即 $3^{x} \leq 1 = 3^{0}$。
因为函数 $y=3^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数，所以 $x \leq 0$。
故函数 $y=\sqrt{1 - 3^{x}}$ 的定义域为 $(-\infty,0]$。
因为 $x \leq 0$，所以 $0＜3^{x} \leq 1$，所以 $0 \leq 1 - 3^{x}＜1$。
所以 $\sqrt{1 - 3^{x}} \in [0,1)$，即函数 $y=\sqrt{1 - 3^{x}}$ 的值域为 $[0,1)$。
(3)要使函数式有意义，则 $-\vert x \vert \geq 0$，又 $\vert x \vert \geq 0$，解得 $x = 0$。
所以函数 $y=(\frac{2}{3})^{\sqrt{-\vert x \vert}}$ 的定义域为 $\{x|x = 0\}$。
因为 $x = 0$，所以 $(\frac{2}{3})^{\sqrt{-\vert x \vert}} = (\frac{2}{3})^{0} = 1$，即函数 $y=(\frac{2}{3})^{\sqrt{-\vert x \vert}}$ 的值域为 $\{y|y = 1\}$。
(4)显然定义域为 $\mathbf{R}$。
由题意，得 $y=4^{x}+2^{x + 1}+3=(2^{x}+1)^{2}+2$，
由于 $2^{x}＞0$，所以 $(2^{x}+1)^{2}＞1$，
所以 $y=4^{x}+2^{x + 1}+3$ 的值域是 $(3,+\infty)$。

对点练 2. (1) 函数$f(x) = \frac{3}{x - 4} + \sqrt{2^{x} - 4}$的定义域是 (B)

A.$[2,4)$
B.$[2,4) \cup (4, + \infty)$
C.$(2,4) \cup (4, + \infty)$
D.$[2, + \infty)$

答案： 2.
(1)B 依题意有 $\begin{cases}x - 4 \neq 0 \\ 2^{x}-4 \geq 0 \end{cases}$，解得 $x \geq 2$，且 $x \neq 4$，所以函数 $f(x)$ 的定义域是 $[2,4) \cup (4,+\infty)$。故选B。

(2) 函数$y = \left( \frac{1}{2} \right)^{x^{2} - 2x - 3}$的值域为(0,16].

答案： 2.
(2)$(0,16]$ 由题意得，函数的定义域为 $\mathbf{R}$。因为 $x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4 \geq -4$，所以 $(\frac{1}{2})^{x^{2}-2x - 3} \leq (\frac{1}{2})^{-4}=16$。又因为 $(\frac{1}{2})^{x^{2}-2x - 3}＞0$，所以函数的值域为 $(0,16]$。

典例3 (1) 若函数$f(x) = 2a^{x + m} - n(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$的图象恒过点$( - 1,4)$，则$m + n$等于 (C)

A.3
B.1
C.-1
D.-2

答案： 3.
(1)C 由函数 $f(x)=2a^{x + m}-n(a＞0$，且 $a \neq 1)$ 的图象恒过点 $(-1,4)$，得 $m - 1 = 0$，$2 · a^{m - 1}-n = 4$，解得 $m = 1$，$n = -2$，所以 $m + n = -1$。故选C。

(2) 在平面直角坐标系中，若直线$y = m$与函数$y = |2^{x} - 1|$的图象只有一个交点，则实数$m$的取值范围为$\{m|m \geq 1$，或 $m = 0\}$.
听课笔记：

答案：
3.
(2)$\{m|m \geq 1$，或 $m = 0\}$ 画出 $y=\vert 2^{x}-1 \vert$ 的图象(如图)，则要使 $y=m$ 与 $y=\vert 2^{x}-1 \vert$ 的图象只有1个交点需满足 $m \geq 1$ 或 $m = 0$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对点练 3. (1) 要使$g(x) = 3^{x + 1} + t$的图象不经过第二象限，则实数$t$的取值范围为 (C)

A.$\{ t|t \leq - 1\}$
B.$\{ t|t ＜ - 1\}$
C.$\{ t|t \leq - 3\}$
D.$\{ t|t \geq - 3\}$

答案： 3.
(1)C 因为函数 $g(x)=3^{x + 1}+t$ 过点 $(0,3 + t)$，且为增函数，要使 $g(x)$ 的图象不经过第二象限，则 $3 + t \leq 0$，解得 $t \leq -3$。故选C。

(2) 已知直线$y = 2a$与函数$y = |2^{x} - 2|$的图象有两个公共点，则实数$a$的取值范围为(0,1).

答案：
3.
(2)$(0,1)$ 函数 $y=\vert 2^{x}-2 \vert$ 的图象如图。要使直线 $y=2a$ 与该图象有两个公共点，则有 $0＜2a＜2$，即 $0＜a＜1$。故实数 $a$ 的取值范围为 $(0,1)$。