《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P125，完成探究问题 2）
问题 2. 假设 $\frac{\log_2 5}{\log_2 3} = x$，则 $\log_2 5 = x \log_2 3$，即 $\log_2 5 = \log_2 3^x$，从而有 $3^x = 5$，再将此式化为对数式可得到什么结论？

答案： 问题导思 2. $x = \log_{2}5$，从而$x=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}=\log_{3}5$。

新知 构建
1. 对数换底公式：$\log_a b = \underline{\hspace{10em}}(a$$\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$$＞ 0$，且 $a \neq 1$; $b ＞ 0$; $c ＞ 0$，且 $c \neq 1)$.
2. 对数换底公式的重要推论
(1)$\log_a N = \frac{1}{\log_N a} (N ＞ 0$，且 $N \neq 1$; $a ＞ 0$，且 $a \neq 1)$；
(2)$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b (a ＞ 0$，且 $a \neq 1$, $b ＞ 0)$；
(3)$\log_a b · \log_b c · \log_c d = \underline{\hspace{5em}}(a$$\log_{a}d$$＞ 0$, $b ＞ 0$, $c ＞ 0$, $d ＞ 0$，且 $a \neq 1$, $b \neq 1$, $c \neq 1)$.
[微提醒] (1) 公式成立的条件是要使每一个对数式都有意义. (2) 在具体运算中，我们习惯换成常用对数（自然对数），即 $\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}$ 或 $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$.

答案： 新知构建
1. $\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ 2.
(3)$\log_{a}d$

典例 2（链教材 P126 练习 T3）计算：
(1)$\log_2 9 · \log_{\sqrt{3}} 4$；
(2)$\frac{\log_5 \sqrt{2} × \log_7 9}{\log_5 \frac{1}{3} × \log_7 \sqrt[3]{4}}$.
听课笔记：

答案： 典例2 解：
(1)由换底公式可得，
$\log_{2}9·\log_{\sqrt{3}}4=\frac{\lg 9}{\lg 2}·\frac{\lg 4}{\lg \sqrt{3}}=\frac{2\lg 3}{\lg 2}·\frac{2\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 3}=8$。
(2)原式$=\frac{\log_{5}\sqrt{2}}{\log_{5}\frac{1}{3}}×\frac{\log_{7}9}{\log_{7}\sqrt[4]{4}}$
$=\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{2}×\log_{\sqrt[4]{4}}9$
$=\frac{\lg \sqrt{2}}{\lg \frac{1}{3}}×\frac{\lg 9}{\lg 4^{\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{1}{2}\lg 2}{-\lg 3}×\frac{2\lg 3}{\frac{2}{3}\lg 2}=-\frac{3}{2}$。

对点练 2. (1) 若 $\log_3 b · \log_5 3 = 3$，则 $b =$ (D)

A.6
B.5
C.$3^5$
D.$5^3$

答案：
(3)因为$\log_{3}b·\log_{5}3=\frac{\lg b}{\lg 3}·\frac{\lg 3}{\lg 5}=\frac{\lg b}{\lg 5}=\log_{5}b = 3$，因此$b = 5^{3}$。故选D。

(2)$(\log_3 2 + \log_9 2)(\log_4 3 + \log_8 3) = \underline{\hspace{5em}}$.

答案：
(2)原式$=\left(\frac{\lg 2}{\lg 3}+\frac{\lg 2}{\lg 9}\right)\left(\frac{\lg 3}{\lg 4}+\frac{\lg 3}{\lg 8}\right)$
$=\left(\frac{\lg 2}{\lg 3}+\frac{\lg 2}{2\lg 3}\right)\left(\frac{\lg 3}{2\lg 2}+\frac{\lg 3}{3\lg 2}\right)=\frac{3\lg 2}{2\lg 3}·\frac{5\lg 3}{6\lg 2}=\frac{5}{4}$。

典例 3 (1) 已知 $\log_{18} 9 = a$, $18^b = 5$，求 $\log_{36} 45$（用 $a, b$ 表示）；
听课笔记：

答案： 典例3 解：
(1)因为$18^{b}=5$，所以$\log_{18}5 = b$。$\log_{36}45=\frac{\log_{18}45}{\log_{18}36}=\frac{\log_{18}(5× 9)}{\log_{18}(18× 2)}=\frac{\log_{18}5+\log_{18}9}{1+\log_{18}2}=\frac{b + a}{1+\log_{18}\frac{18}{9}}=\frac{b + a}{1+\log_{18}18-\log_{18}9}=\frac{a + b}{2 - b}$。

(2) 已知 $2^x = 3^y = 5^z$，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$，求 $x, y, z$.
听课笔记：

答案：
(2)令$2^{x}=3^{y}=5^{z}=k(k\gt 0)$，
所以$x = \log_{2}k$，$y = \log_{3}k$，$z = \log_{5}k$，
所以$\frac{1}{x}=\log_{k}2$，$\frac{1}{y}=\log_{k}3$，$\frac{1}{z}=\log_{k}5$，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$，
得$\log_{k}2+\log_{k}3+\log_{k}5=\log_{k}30 = 1$，
所以$k = 30$，所以$x=\log_{2}30 = 1+\log_{2}15$，
$y=\log_{3}30 = 1+\log_{3}10$，
$z=\log_{5}30 = 1+\log_{5}6$。