《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P132 - 133，完成探究问题 1）
问题 1. 在同一坐标系内画出函数 $y = \log_2 x$，$y = \log_{\frac{1}{2}} x$，$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ 和 $y = \log_3 x$ 的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征.

答案：
同一坐标系中函数的图象如图,
　　　　　　　　　　
①$y = \log_{a}x$与$y = \log_{b}x$的图象从左到右是上升的，函数$y = \log_{\frac{1}{2}}x$和$y = \log_{\frac{1}{3}}x$的图象从左到右是下降的.
②图象都过定点$(1,0)$，函数的图象都在$y$轴的右侧，且向上向下无限延伸.

新知 构建
对数函数的图象和性质
[微提醒]（1）函数图象只出现在 $y$ 轴右侧.（2）对任意底数 $a$，当 $x = 1$ 时，$y = 0$，故过定点 $(1,0)$.（3）当 $0 ＜ a ＜ 1$，$x ＞ 1$ 时，底数越小，图象越靠近 $x$ 轴.（4）当 $a ＞ 1$，$x ＞ 1$ 时，底数越大，图象越靠近 $x$ 轴.（5）任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称.

答案： $(0,+\infty)$ $(1,0)$ $(0,+\infty)$ $(-\infty,0]$ $(-\infty,0)$ $x$轴

典例 1 (1)对数函数 $y = \log_a x$($a ＞ 0$，且 $a \neq 1$)的图象如图所示，已知 $a$ 分别取 $\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{10}$，则与 $C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$ 相对应的 $a$ 的值依次为 (A)

A.$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{10}$
B.$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{10}$，$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{10}$
D.$\frac{4}{3}$，$\sqrt{3}$，$\frac{1}{10}$，$\frac{3}{5}$

答案：
(1)在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数按顺时针方向依次增大，故与$c_1,c_2,c_3,c_4$相对应的$a$的值依次为$\sqrt{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{10}$.故选A.

(2)函数 $f(x) = \log_a |x| + 1(0 ＜ a ＜ 1)$ 的大致图象可能为 (A)

答案：
(2)函数$f(x)=\log_{a}|x| + 1(0 ＜ a ＜ 1)$的定义域为$\{x|x \neq 0\}$，当$x \in (0,+\infty)$时，$f(x)=\log_{a}x + 1(0 ＜ a ＜ 1)$为减函数，且过定点$(1,1)$，故函数$f(x)=\log_{a}|x| + 1(0 ＜ a ＜ 1)$的大致图象可能为A选项.

(3)函数 $g(x) = \log_a (2x - 3) + 6(a ＞ 0$，且 $a \neq 1)$ 的图象一定经过点 (B)

A.$(1,4)$
B.$(2,6)$
C.$(2,5)$
D.$(0,5)$

答案：
(3)令$2x - 3 = 1$，得$x = 2$，$g(2)=\log_{a}1 + 6 = 6$，即函数的图象一定过点$(2,6)$.故选B.