《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P177-179，完成探究问题 1）
问题 1. 如图，锐角$\alpha$的终边与单位圆的交点是$P(x,y)$，你能否用点$P$的坐标表示$\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha$？这一结论能否推广到$\alpha$是任意角时的情形呢？

答案： 问题导思　1.根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，得$\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \frac{y}{x}(x\neq 0)$，这一结论能推广到$\alpha$是任意角时的情形。

新知 构建
任意角的三角函数的定义

［微提醒］(1) 三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数. (2) 三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合.

答案： 纵坐标$y$ $\sin\alpha$ 横坐标$x$ $\cos\alpha$ $\frac{y}{x}$ $\tan\alpha(x\neq 0)$

典例1（链教材 P178 例 1，P179 例 2）
(1) 利用定义求$\frac{2\pi}{3}$的正弦、余弦和正切值；
(2) 若角$\alpha$的终边经过点$P(-3a,4a)(a\neq0)$，求$2\sin\alpha + \cos\alpha$的值.
听课笔记：

答案：

(1)如图所示，$\frac{2\pi}{3}$的终边与单位圆的交点为$P$，过点$P$作$PB\perp x$轴于点$B$，在$\triangle OPB$中，$|OP| = 1$，$\angle POB = \frac{\pi}{3}$，则$|PB| = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$|OB| = \frac{1}{2}$，则$P\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

所以$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$，$\tan\frac{2\pi}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$。
(2)因为$r = \sqrt{(-3a)^2 + (4a)^2} = 5|a|$，
①若$a ＞ 0$，则$r = 5a$，角$\alpha$是第二象限角，
$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{4a}{5a} = \frac{4}{5}$，$\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{-3a}{5a} = -\frac{3}{5}$，
所以$2\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = 1$。
②若$a ＜ 0$，则$r = -5a$，角$\alpha$是第四象限角，
$\sin\alpha = \frac{4a}{-5a} = -\frac{4}{5}$，$\cos\alpha = \frac{-3a}{-5a} = \frac{3}{5}$。
所以$2\sin\alpha + \cos\alpha = -\frac{8}{5} + \frac{3}{5} = -1$。

对点练 1. (1) 已知角$\alpha$的终边上一点$P(m,\sqrt{3})$，且$\cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$，则$m =$√5.

答案：
(1)$\sqrt{5}$
(1)由题意得$x = m$，$y = \sqrt{3}$，所以$r = |OP| = \sqrt{m^2 + 3}$，
所以$\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{m}{\sqrt{m^2 + 3}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$，很明显$m ＞ 0$，解得$m = \sqrt{5}$。

(2) 已知角$\alpha$的终边落在射线$y = 2x(x\geqslant0)$上，求$\sin\alpha,\cos\alpha$的值.

答案：
(2)设射线$y = 2x(x\geq 0)$与单位圆的交点为$P(x, y)$，则$\begin{cases}y = 2x, \\ x^2 + y^2 = 1, \\ x\geq 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{\sqrt{5}}{5}, \\ y = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \end{cases}$即$P\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$。
所以$\sin\alpha = y = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha = x = \frac{\sqrt{5}}{5}$。