《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 (C)

A.$- \sqrt{x} = ( - x)^{\frac{1}{2}}$
B.$x^{- \frac{1}{3}} = - \sqrt[3]{x}$
C.$(\frac{x}{y})^{- \frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{y}{x})^3}(xy ＞ 0)$
D.$\sqrt[6]{x^2} = x^{\frac{1}{3}}(x ＜ 0)$

答案： 1.C

2. 化简$\frac{\sqrt{x} · \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[6]{x}}(x ＞ 0)$的结果是 (A)

A.$x$
B.$x^2$
C.1
D.$\sqrt{x}$

答案： 2.A

3. 若$\sqrt{(x - 5)(x^2 - 25)} = (5 - x)\sqrt{x + 5}$，则$x$的取值范围是$\{x \mid -5 \leq x \leq 5\}$.

答案： 3.$\{x \mid -5 \leq x \leq 5\}$

4. 计算：$0.25 × ( - \frac{1}{2})^{- 4} - 4 ÷ 2^0 - (\frac{1}{16})^{- \frac{1}{2}} =$$-4$.

答案： 4.$-4$

? 问题导思
（阅读教材 P107 - 108，完成探究问题 1、2）
问题 1. 阅读教材 P108 探究，思考$5^{\sqrt{2}}$是不是一个确定的实数.
问题 2. 能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？

答案： 1. $ 5^{\sqrt{2}} $是一串逐渐增大的有理数指数幂$ 5^{1.4},5^{1.41},·s $和另一串逐渐减小的有理数指数幂$ 5^{1.5},5^{1.42},·s $逐步逼近的结果,它是一个确定的实数.
2. 能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算.

【新知 构建】
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂$a^{\alpha}(a＞0$，$\alpha$为无理数)是一个确定的实数.
2. 实数指数幂的运算法则
(1)$a^{r}a^{s}=a^{r + s}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$；
(2)$(a^{r})^{s}=a^{rs}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$；
(3)$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a＞0,b＞0,r\in\mathbf{R})$；
(4)拓展：$\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r - s}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$.
【微提醒】对于无理数指数幂$a^{\alpha}$，特别强调底数$a＞0$，如果$a＜0$，比如$(-1)^{\sqrt{2}}$，无法判断其值是 1 还是 -1.

答案： 1. 实数

【典例 1】计算下列各式的值：
(1)$(\sqrt[3]{8^{\sqrt{3}}}×\sqrt[3]{3^{\sqrt{3}}})^{\sqrt{3}}$；
(2)$(\frac{\pi^{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi^{\sqrt{2}}}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
听课笔记：

答案： 解:
(1)原式$ =\left[\left(2^{3}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{3}}× 3^{\frac{\sqrt{2}}{3}}\right]^{\sqrt{3}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{3}× \sqrt{3}}× 3^{\frac{\sqrt{2}}{3}× \sqrt{3}}=2^{\sqrt{6}}× 3^{\sqrt{6}} = 24 $.
(2)原式$ =\left(\frac{\pi^{\sqrt{2}}}{\pi^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\left(\pi^{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\pi^{\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{\sqrt{2}}{2}}=\pi^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\pi} $.