《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

(1)若指数函数$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$在区间$[0,2]$上的最大值与最小值之差为$3$，则$a$的值是.
(2)已知函数$f(x)=\begin{cases}a^{x},x\geqslant1,\\(3-a)x+1,x＜1\end{cases}$是定义在$\mathbf{R}$上的增函数，则实数$a$的取值范围是 .

答案：
(1)当$ a ＞ 1 $时，函数$ f(x) $在区间$ [0, 2] $上单调递增，最大值是$ f(2) = a^2 $，最小值是$ f(0) = a^0 = 1 $，所以$ a^2 - 1 = 3 $，解得$ a = 2 $（舍负）；当$ 0 ＜ a ＜ 1 $时，函数$ f(x) $在区间$ [0, 2] $上单调递减，最大值是$ f(0) = a^0 = 1 $，最小值是$ f(2) = a^2 $，所以$ 1 - a^2 = 3 $，此时$ a $的值不存在。综上，$ a = 2 $。
(2)因为$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的增函数，所以函数$ f(x) = a^x $在$ [1, +\infty) $上单调递增，则$ a ＞ 1 $，函数$ f(x) = (3 - a)x + 1 $在$ (-\infty, 1) $上单调递增，则$ 3 - a ＞ 0 $，解得$ a ＜ 3 $，且有$ 3 - a + 1 \leq a $，解得$ a \geq 2 $。综上，实数$ a $的取值范围是$ [2, 3) $。

1. 已知$a=2^{0.2}$，$b=0.3^{3}$，$c=0.3^{0.2}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为 (C)

A.$a＜b＜c$
B.$b＜a＜c$
C.$b＜c＜a$
D.$c＜a＜b$

答案： 1. C

2. 不等式$2^{|x-1|}＜4$的解集是 (A)

A.$(-1,3)$
B.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$
C.$(-3,1)$
D.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$

答案： 2. A

3. 已知函数$f(x)=a^{x^{2}+4x-6}(a＞0$，且$a\neq1)$，若$f(1)＞1$，则$f(x)$的单调递减区间是 (D)

A.$(-\infty,0)$
B.$(0,+\infty)$
C.$(-\infty,-2)$
D.$(-2,+\infty)$

答案： 3. D

4. 若$a^{x+1}＞\left(\dfrac{1}{a}\right)^{5-3x}$，且$0＜a＜1$，则$x$的取值范围为$(3, +\infty)$.

答案： 4. $(3, +\infty)$