《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

下列各组函数表示同一个函数的是(BD)

A.$ f(x)=\frac{x^{2} - x}{x} $，$ g(x)=x - 1 $
B.$ f(x)=\sqrt{x + 1}·\sqrt{1 - x} $，$ g(x)=\sqrt{1 - x^{2}} $
C.$ f(x)=x + 1 $，$ g(x)=x + x^{0} $
D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 $ f(t)=80t(0\leqslant t\leqslant 5) $ 与一次函数 $ g(x)=80x(0\leqslant x\leqslant 5) $

答案： 对点练2 BD 对于A，$f(x)$与$g(x)$的定义域不同，不是同一个函数；对于B，$f(x)$与$g(x)$的定义域都是$[-1,1]$，且对应关系相同，是同一个函数；对于C，$f(x)$与$g(x)$的定义域不同，不是同一个函数；对于D，$f(t)$与$g(x)$的定义域、对应关系分别对应相同，是同一个函数。故选BD。

典例 3
(1) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [1,3] $，求函数 $ f(2x + 1) $ 的定义域；
(2) 已知函数 $ f(2x + 1) $ 的定义域为 $ [1,3] $，求函数 $ f(x) $ 的定义域；
(3) 已知函数 $ f(2x - 3) $ 的定义域是 $ [-2,3] $，求函数 $ f(x + 2) $ 的定义域。
听课笔记：

答案： 典例3 解：
(1)因为函数$f(x)$的定义域为$[1,3]$，
所以$2x + 1\in[1,3]$，所以$x\in[0,1]$，
即函数$f(2x + 1)$的定义域为$[0,1]$。
(2)因为$x\in[1,3]$，所以$2x + 1\in[3,7]$，
即函数$f(x)$的定义域是$[3,7]$。
(3)因为$x\in[-2,3]$，所以$2x - 3\in[-7,3]$，
即函数$f(x)$的定义域为$[-7,3]$。
令$-7\leqslant x + 2\leqslant 3$，解得$-9\leqslant x\leqslant 1$，
所以函数$f(x + 2)$的定义域为$[-9,1]$。

已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (0,+\infty) $，则函数 $ F(x)=f(x + 2) + \sqrt{3 - x} $ 的定义域为$(-2,3]$。

答案： 对点练3.$(-2,3]$ 由题意得$\begin{cases}x + 2\gt 0,\\3 - x\geqslant 0,\end{cases}$解得$-2\lt x\leqslant 3$，所以$F(x)$的定义域为$(-2,3]$。