《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3 比较下列各组数的大小：
(1)$4^{-\frac{7}{2}}$和$4.1^{-\frac{7}{2}}$；
(2)$- 8^{-\frac{7}{8}}$和$- (\frac{1}{9})^{\frac{7}{8}}$.
听课笔记：

答案： 解：
(1)因为函数$y = x^{-\frac{2}{3}}$在$(0, +\infty)$上单调递减，又$4 ＜ 4.1$，所以$4^{-\frac{2}{3}} ＞ 4.1^{-\frac{2}{3}}$。
(2)$ -8^{-\frac{1}{4}} = -\left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{4}}$，函数$y = x^{\frac{1}{4}}$在$(0, +\infty)$上单调递增，又$\frac{1}{8} ＞ \frac{1}{9}$，所以$\left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{4}} ＞ \left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{4}}$，所以$-\left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{4}} ＜ -\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{4}}$，即$ -8^{-\frac{1}{4}} ＜ -\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{4}}$。

对点练 3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)$(\frac{2}{5})^{0.3}$与$(\frac{1}{3})^{0.3}$；
(2)$(- \frac{2}{3})^{- 1}$与$(- \frac{3}{5})^{- 1}$.

答案： 解：
(1)因为幂函数$y = x^{0.3}$在$(0, +\infty)$上是增函数，又$\frac{2}{5} ＞ \frac{1}{3}$，所以$\left( \frac{2}{5} \right)^{0.3} ＞ \left( \frac{1}{3} \right)^{0.3}$。
(2)因为幂函数$y = x^{-1}$在$(-\infty, 0)$上是减函数，又$-\frac{2}{3} ＜ -\frac{3}{5}$，所以$\left( -\frac{2}{3} \right)^{-1} ＞ \left( -\frac{3}{5} \right)^{-1}$。

典例 4 已知幂函数$f(x) = (m^{2} - 2m + 1) · x^{m - \frac{3}{2}}$的图象过点$(4,2)$.
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)判断函数的单调性，并进行证明；
(3)若$f(a + 1) ＞ f(2a - 3)$，求实数$a$的取值范围.
听课笔记：

答案： 解：
(1)因为$f(x) = (m^{2} - 2m + 1) · x^{m - \frac{1}{2}}$为幂函数，所以$m^{2} - 2m + 1 = 1$，所以$m = 2$或$m = 0$。
当$m = 2$时，$f(x) = x^{\frac{3}{2}}(x \geq 0)$，图象过点$(4, 2)$；当$m = 0$时，$f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$，图象不过点$(4, 2)$，舍去。
综上，$f(x) = x^{\frac{3}{2}}(x \geq 0)$。
(2)由
(1)知$f(x) = x^{\frac{3}{2}}(x \geq 0)$且在$[0, +\infty)$上单调递增。证明如下：
设$x_{1}$，$x_{2} \in [0, +\infty)$，且$x_{1} ＜ x_{2}$，则$f(x_{1}) - f(x_{2}) = \sqrt{x_{1}^{3}} - \sqrt{x_{2}^{3}} = \frac{x_{1}^{3} - x_{2}^{3}}{\sqrt{x_{1}^{3}} + \sqrt{x_{2}^{3}}} = \frac{(x_{1} - x_{2})(x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2})}{\sqrt{x_{1}^{3}} + \sqrt{x_{2}^{3}}}$
因为$0 \leq x_{1} ＜ x_{2}$，所以$x_{1} - x_{2} ＜ 0$，$\sqrt{x_{1}^{3}} + \sqrt{x_{2}^{3}} ＞ 0$，$x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} ＞ 0$，所以$f(x_{1}) - f(x_{2}) ＜ 0$，即$f(x_{1}) ＜ f(x_{2})$。
所以$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增。
(3)由
(2)知函数$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增，由$f(a + 1) ＞ f(2a - 3)$，则$\begin{cases} a + 1 ＞ 2a - 3 \\ 2a - 3 \geq 0 \end{cases}$，得$\frac{3}{2} \leq a ＜ 4$，
综上，实数$a$的取值范围为$\left[ \frac{3}{2}, 4 \right)$。

对点练 4. 已知$(a - 3)^{\frac{1}{3}} ＜ (1 + 2a)^{\frac{1}{3}}$，则实数$a$的取值范围为$(-4, +\infty)$.

答案： $(-4, +\infty)$ 因为幂函数$y = x^{\frac{1}{2}}$在$\mathbf{R}$上为增函数，$(a - 3)^{\frac{1}{2}} ＜ (1 + 2a)^{\frac{1}{2}}$，所以$a - 3 ＜ 1 + 2a$，解得$a ＞ -4$，所以实数$a$的取值范围为$(-4, +\infty)$。