《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练 3. 如图，已知底角为$45^{\circ}$的等腰梯形$ABCD$，底边$BC$长为$7$，腰长为$2\sqrt{2}$，当一条垂直于底边$BC$(垂足为点$F$，$F$不与$B$，$C$重合)的直线$l$从左至右移动(与梯形$ABCD$有公共点)时，直线$l$把梯形分成两部分，令$BF=x$，试写出直线$l$左边部分图形的面积$y$关于$x$的函数.

答案： 解：分别过点$ A $，$ D $作$ AG\perp BC $，$ DH\perp BC $，垂足分别是点$ G $，$ H $（图略）。
因为四边形$ ABCD $是等腰梯形，底角为$ 45° $，$ AB=2\sqrt{2} $，所以$ BG=AG=DH=HC=2 $。又$ BC=7 $，所以$ AD=GH=3 $。
①当点$ F $在$ BG $上，即$ 0＜x\leqslant2 $时，$ y=\frac{1}{2}x^2 $；
②当点$ F $在$ GH $上，即$ 2＜x\leqslant5 $时，$ y=2+2(x-2)=2x-2 $；
③当点$ F $在$ HC $上，即$ 5＜x＜7 $时，$ y=S_{梯形ABCD}-S_{Rt\triangle EFC}=10-\frac{1}{2}(7-x)^2 $。
故函数的解析式为$ y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2,0＜x\leqslant2,\\2x-2,2＜x\leqslant5,\\-\frac{1}{2}(x-7)^2+10,5＜x＜7.\end{cases} $

典例4 　画出函数$f(x)=[x]$以及$g(x)=\{x\}$的图象，并指出它们的定义域、值域.
听课笔记：

答案：
解：由题意得，$ f(x)=[x] $的定义域为$ \mathbf{R} $，值域为$ \mathbf{Z} $。（如图1）
$ g(x)=\{x\} $的定义域为$ \mathbf{R} $，值域为$ [0,1) $。

典例5 (多选)对$\forall x \in \mathbf{R},[x]$表示不超过$x$的最大整数，十八世纪，函数$y=[x]$被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有 (BCD)

$A.\forall x \in [-1,0],[x]=-1$
$B.\forall x \in \mathbf{R},x＜[x]+1$
C.$\forall x,y \in \mathbf{R},[x]+[y] \leq [x+y]$
D.函数$y=x - [x](x \in \mathbf{R})$的值域为$[0,1)$

答案： 对于A，当$ x=0 $时，$ [x]=0 $，故A错误；对于B，当$ x $是整数时，$ [x]=x $；当$ x $不是整数时，$ [x]＜x＜[x]+1 $，由上可知$ \forall x\in\mathbf{R} $，$ x＜[x]+1 $成立，故B正确；对于C，$ \forall x,y\in\mathbf{R} $，$ 0\leqslant x-[x]＜1 $，$ 0\leqslant y-[y]＜1 $，所以$ 0\leqslant x-[x]+y-[y]＜2 $，当$ 1\leqslant x-[x]+y-[y]＜2 $时，$ x+y-1＜[x]+[y]\leqslant x+y $，所以$ [x]+[y]+1=[x+y] $，当$ 0\leqslant x-[x]+y-[y]＜1 $时，$ x+y-1＜[x]+[y]＜x+y $，所以$ [x]+[y]=[x+y] $，由上可知，$ \forall x,y\in\mathbf{R} $，$ [x]+[y]\leqslant[x+y] $成立，故C正确；对于D，由B可知，$ [x]\leqslant x＜[x]+1 $，所以$ 0\leqslant x-[x]＜1 $，所以$ y=x-[x](x\in\mathbf{R}) $的值域为$ [0,1) $，故D正确。故选BCD。