《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
（阅读教材 P90－91，完成探究问题 2）
问题 2. 在同一坐标系中分别画出函数$y = x, y = x^{2}, y = x^{3}, y = x^{-1}, y = x^{\frac{1}{2}}$的图象, 思考并回答：
(1)以上各函数图象有什么共同特征？
(2)在第一象限内, 函数图象具有哪些特点？

答案：
问题导思 2.
(1)五个幂函数的图象均过定点$(1, 1)$。

(2)①当$\alpha ＞ 0$时，$y = x^{\alpha}$在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势。
②当$\alpha ＜ 0$时，$y = x^{\alpha}$在第一象限内的图象由左向右呈下降趋势。

新知 构建
常见幂函数的图象和性质

[微提醒] 对于幂函数$y = x^{\alpha}(\alpha$为常数$)$有以下结论：
(1)当$\alpha ＞ 0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0, +\infty)$上单调递增.
(2)当$\alpha ＜ 0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0, +\infty)$上单调递减.
(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线$x = 1$的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.

答案： $\{x | x \neq 0\}$ $[0, +\infty)$ $[0, +\infty)$ $\{y | y \neq 0\}$ 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 $\mathbf{R}$ $[0, +\infty)$ $\mathbf{R}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0)$ $(-\infty, 0)$ $(0, +\infty)$ $(1, 1)$

典例 2 (1)如图是幂函数$y = x^{n}$的部分图象，已知$n$取$\frac{1}{2},2, - 2, - \frac{1}{2}$这四个值，则与曲线$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$相对应的$n$依次为 (A)


A.$2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - 2$
B.$- 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2$
C.$- \frac{1}{2}, - 2, 2, \frac{1}{2}$
D.$2, \frac{1}{2}, - 2, - \frac{1}{2}$

答案：
(1)A
(1)法一：曲线$C_{1}$，$C_{2}$过点$(0, 0)$，$(1, 1)$，且在第一象限内单调递增，所以$n ＞ 0$，$n$为$\frac{1}{2}$，$2$，显然$C_{1}$对应$y = x^{2}$，$C_{2}$对应$y = x^{\frac{1}{2}}$。$C_{3}$，$C_{4}$过点$(1, 1)$，且在第一象限内单调递减，所以$n ＜ 0$，$n$为$-2$，$-\frac{1}{2}$，显然$C_{3}$对应$y = x^{-\frac{1}{2}}$，$C_{4}$对应$y = x^{-2}$。故选A。
法二：取$x = 2$，分别代入$y_{1} = x^{2}$，$y_{2} = x^{\frac{1}{2}}$，$y_{3} = x^{-\frac{1}{2}}$，$y_{4} = x^{-2}$，可求得$y_{1} = 4$，$y_{2} = \sqrt{2}$，$y_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$y_{4} = \frac{1}{4}$，比较得$y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{4}$，则与曲线$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$，$C_{4}$相对应的$n$依次为$2$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$-2$。故选A。

(2)下列幂函数中，函数为偶函数，且在$(0, +\infty)$上单调递减的是 (A)

A.$f(x) = x^{- 2}$
B.$f(x) = \sqrt{x}$
C.$f(x) = x^{2}$
D.$f(x) = x^{3}$
听课笔记：

答案：
(2)A 对于A，$f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}$，则$f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} = f(x)$，故$f(x)$为偶函数，且在$(0, +\infty)$上单调递减，故A正确；对于B，$f(x) = \sqrt{x}$的定义域为$[0, +\infty)$，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故B错误；对于C，$f(-x) = (-x)^{2} = x^{2} = f(x)$，故$f(x)$为偶函数，且在$(0, +\infty)$上单调递增，故C错误；对于D，$f(-x) = (-x)^{3} = -x^{3} = -f(x)$，故$f(x)$为奇函数，故D错误。故选A。

对点练 2. 若幂函数$f(x) = (m^{2} + 3m - 27)x^{m}$的图象关于$y$轴对称，则$m =$(C)

A.8
B.$- 7$
C.4
D.2

答案： C 由题意得$m^{2} + 3m - 27 = 1$，解得$m = 4$或$m = -7$。又因为$f(x)$的图象关于$y$轴对称，是偶函数，所以$m = 4$。故选C。