《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练3 某施工单位在对一个长$800$m、宽$600$m的空地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.

答案： 解：设花坛的宽度为$x$ m，则绿草坪的长为$(800 - 2x)$m，宽为$(600 - 2x)$m。 根据题意得$(800 - 2x) · (600 - 2x) \geq \frac{1}{2} × 800 × 600$， 整理得$x^2 - 700x + 60000 \geq 0$，$0 \lt x \lt 300$， 解得$x \geq 600$（舍去），或$x \leq 100$， 由题意知$x \gt 0$，所以$0 \lt x \leq 100$，所以当$x$在$0 \lt x \leq 100$取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一。 所以花坛宽度的取值范围为$\{x \mid 0 \lt x \leq 100\}$。

1. 不等式$\frac{1 - x}{x} \geq 0$的解集为(B)

A.$\{x|0 \leq x \leq 1\}$
B.$\{x|0 ＜ x \leq 1\}$
C.$\{x|x \leq 0$，或$x \geq 1\}$
D.$\{x|x ＜ 0$，或$x \geq 1\}$

答案： B

2. 已知不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|-2 ＜ x ＜ 1\}$，那么不等式$cx^2 - ax + b ＞ 0$的解集为(D)

A.$\{x|-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1\}$
B.$\{x|x ＜ -\frac{1}{2}$，或$x ＞ 1\}$
C.$\{x|-1 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
D.$\{x|x ＜ -1$，或$x ＞ \frac{1}{2}\}$

答案： D

3. 若不等式$ax^2 - 3x - b ＜ 0$的解集为$\{x|-1 ＜ x ＜ 4\}$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$$\frac{5}{4}$.

答案： $\frac{5}{4}$

4. 某商品在最近$30$天内的价格$y_1$与时间$t$(单位：天)的关系式是$y_1 = t + 10(0 ＜ t \leq 30$，$t \in \mathbf{N})$；销售量$y_2$与时间$t$的关系式是$y_2 = -t + 35(0 ＜ t \leq 30$，$t \in \mathbf{N})$，则使这种商品日销售金额$z$不小于$500$元的$t$的取值范围为$\{t|10 \leq t \leq 15, t \in \mathbf{N}\}$.

答案： $\{t \mid 10 \leq t \leq 15, t \in \mathbf{N}\}$