《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

【典例3】 (链教材 P152 例 6)某科研小组对面积为 8 000 平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积$y(单位：平方米)$与所经过月数$x(x ∈ \mathbf{N})$的下列数据：

为描述该生物覆盖面积 $y(单位：平方米)$与经过的月数$x(x ∈ \mathbf{N})$的关系，现有以下三种函数模型供选择：$y=k·a^x(k＞0,a＞1)$；$y=p\sqrt{x}+q(p＞0)$；$y=ax+b$.
(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？
(参考数据：$\sqrt{2}≈1.414$，$\lg 2≈0.301$)
听课笔记：

答案： 解:
(1)因为函数$ y = k · a^x (k ＞ 0, a ＞ 1) $刻画的是增长速度越来越快的变化规律,
函数$ y = p\sqrt{x} + q(p ＞ 0) $刻画的是增长速度越来越慢的变化规律,
函数$ y = ax + b $刻画的是增长速度不变的规律,
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快,
所以函数模型$ y = k · a^x (k ＞ 0, a ＞ 1) $更适合.
根据题意有$ \begin{cases} ka^0 = 4, \\ ka^2 = 25, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = \frac{5}{2}, \\ k = 4, \end{cases} $所以$ y = 4 × \left( \frac{5}{2} \right)^x, x \in \mathbf{N} $.
(2)设约经过$ x $个月,此生物能覆盖整个池塘,
则$ 4 × \left( \frac{5}{2} \right)^x = 8000 $,解得$ x = \log_{\frac{5}{2}} 2000 = \frac{\lg 2000}{\lg \frac{5}{2}} = \frac{3 + \lg 2}{1 - 2\lg 2} \approx 8.294 $
故约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.

对点练 3. 某公司每个仓库的收费标准如下表($x$ 表示储存天数，$y(单位：万元)$表示 $x$ 天收取的总费用).

(1)给出两个函数$y_1=p^{x-1}+q(p＞0$，且$p≠1)$，$y_2=\log_a (x+b)(a＞0$，且$a≠1)$，要从这两个函数中选出一个来模拟表中$x,y$之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由.
(2)该公司旗下有 10 个这样的仓库. 每个仓库储存货物时，每天需要 2 000 元的运营成本，不存货物时仅需 500 元的成本. 一批货物需要存放 7 天，设该批货物存放在$m$个仓库内，其余仓库空闲. 要使该公司这 7 天的仓库收益不少于 43 000 元，则$m$的最小值是多少？
注：收益＝收入－成本.

答案： 解:
(1)若选择函数$ y_1 = p^{x - 1} + q(p ＞ 0, $且$ p \neq 1) $,
将$ (1,1),(3,2) $代入函数得$ \begin{cases} 1 + q = 1, \\ p^2 + q = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} p = \sqrt{2}, \\ q = 0, \end{cases} $
所以$ y_1 = (\sqrt{2})^{x - 1} = 2^{\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}} $.
当$ x = 7 $时,$ y_1 = 2^3 = 8 $;当$ x = 14 $时,$ y_1 = 2^{\frac{13}{2}} = 64\sqrt{2} $;
可知当$ x = 7 $或14时,与实际数据差距较大.
若选择函数$ y_2 = \log_a(x + b)(a ＞ 0, $且$ a \neq 1) $,
将$ (1,1),(3,2) $代入函数得$ \begin{cases} \log_a(1 + b) = 1, \\ \log_a(3 + b) = 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1, \end{cases} $所以$ y_2 = \log_2(x + 1) $.
当$ x = 7 $时,$ y_2 = \log_2 8 = 3 $;当$ x = 14 $时,$ y_2 = \log_2 15 $;
可知当$ x = 7 $或14时,与实际数据比较接近,
综上所述,选择$ y_2 = \log_a(x + b)(a ＞ 0, $且$ a \neq 1) $较好.
(2)设该公司第$ 7 $天的仓货收益为$ f(m) $,每个仓库收费30 000元,
由题中表格数据可知,若货物存放$ 7 $天,每个仓库收费$ f(m) = 30000m - [2000m + 500 × (10 - m)] × 7 = 19500m - 35000 $,由$ f(m) \geq 43000 $得$ m \geq 4 $,所以$ m $的最小值为4.