《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 俗语云：“好人有好报”.这句话中“好人”是“有好报”的 (A)

A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断

答案： 1. A

2. 下列选项中是“四边形是矩形”的一个充分条件的是 (C)

A.四边形是平行四边形
B.四边形是菱形
C.四边形是正方形
D.四边形的两条对角线相等

答案： 2. C

3. (多选)使$x ＞ 1$成立的一个必要条件可以是(AB)

A.$x ＞ 0$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＞ 2$
D.$x ＜ 2$

答案： 3. AB

4. 写出一个“关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x+m=0$有实数解”的必要条件：$ m ＜ \dfrac{1}{2} $（答案不唯一） .

答案： 4. $ m ＜ \dfrac{1}{2} $（答案不唯一）

$?$问题导思
（阅读教材 P20—23，完成探究问题）
问题. 给出以下两个“若$p$，则$q$”形式的命题：
①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.
②若$m \leq \frac{1}{4}$，则关于$x$的方程$x^2 + x + m = 0(m \in \mathrm{R})$有实数根.
(1)你能判断这两个命题的真假吗？
(2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？
(3)你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断$p$，$q$的关系吗？

答案：
(1)①、②都是真命题.
(2)①逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等,是真命题.
②逆命题:若关于$ x $的方程$ x^{2}+x+m=0(m \in \mathbf{R}) $有实数根,则$ m \leq \frac{1}{4} $,是真命题.
(3)判断$ p $是$ q $的什么条件,其实质是判断“若$ p $,则$ q $”及其逆命题“若$ q $,则$ p $”是真还是假,原命题为真而逆命题为假,则$ p $是$ q $的充分不必要条件;原命题为假,逆命题为真,则$ p $是$ q $的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则$ p $是$ q $的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则$ p $是$ q $的既不充分也不必要条件.

1. 逆命题
将命题“若$p$，则$q$”中的条件$p$和结论$q$互换，就得到一个新的命题“若$q$，则$p$”，称这个命题为原命题的逆命题.
2. 充要条件
如果“若$p$，则$q$”和它的逆命题“若$q$，则$p$”均是真命题，即既有$p \Rightarrow q $，又有$q \Rightarrow p $，就记作$p \Leftrightarrow q $. 此时，$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称为充要条件.
[微提醒] 对充要条件的两点说明
(1)$p$是$q$的充要条件意味着“$p$成立，则$q$一定成立；$p$不成立，则$q$一定不成立”. (2)$p$是$q$的充要条件，则$q$也是$p$的充要条件.
[微思考] 若“$x \in A$”是“$x \in B$”的充要条件，则集合$A$与集合$B$有什么关系？

答案： 2.$ p \Rightarrow q $ $ q \Rightarrow p $ $ p \Leftrightarrow q $ 充要
[微思考] $ A = B $.