《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例1 已知不等式$kx^2 + 2kx - (k + 2) ＜ 0$恒成立，求实数$k$的取值范围.
听课笔记：

答案： 解：当$k = 0$时，原不等式化为$-2 \lt 0$，显然符合题意。 当$k \neq 0$时，令$y = kx^2 + 2kx - (k + 2) \lt 0$，由$y \lt 0$恒成立， 所以其图象都在$x$轴的下方， 即开口向下，且与$x$轴无交点。 所以$\begin{cases}k \lt 0, \\ 4k^2 + 4k(k + 2) \lt 0, \end{cases}$解得$-1 \lt k \lt 0$。 综上，实数$k$的取值范围是$\{k \mid -1 \lt k \leq 0\}$。

对点练1 若关于$x$的不等式$kx^2 + 3kx + k - 2 \leq 0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$k$的取值范围是(D)

A.$\{k|-\frac{4}{5} \leq k ＜ 0\}$
B.$\{k|-\frac{8}{5} \leq k ＜ 0\}$
C.$\{k|-\frac{4}{5} \leq k \leq 0\}$
D.$\{k|-\frac{8}{5} \leq k \leq 0\}$

答案： D

典例2 当$1 \leq x \leq 2$时，不等式$x^2 + mx + 4 ＜ 0$恒成立，求实数$m$的取值范围.
听课笔记：

答案：
解：令$y = x^2 + mx + 4$， 因为$y \lt 0$在$1 \leq x \leq 2$上恒成立， 所以$y = 0$的根一个小于$1$，另一个大于$2$。 如图，可得$\begin{cases}m + 5 \lt 0, \\ 4 + 2m + 4 \lt 0, \end{cases}$解得$m \lt -5$， 所以实数$m$的取值范围是$\{m \mid m \lt -5\}$。

对点练2 命题“$\forall x \in \{x|1 \leq x \leq 2\}$，$x^2 - a \leq 0$”为真命题的一个充分不必要条件是(B)

A.$a \geq 4$
B.$a \geq 5$
C.$a \leq 4$
D.$a \leq 5$

答案： B