《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例2 (链教材 P47 例 4)如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.
(1)现有 $36$ m 长的钢筋网材料，$x$，$y$ 的值分别为多少时，每间虎笼的面积最大？
(2)若每间虎笼的面积为 $20$ m²，$x$，$y$ 的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

听课笔记：

答案： 解：
(1)设每间虎笼的面积为$ S\ m^2 $，由已知可得$ 4x + 5y = 36 $，由基本不等式可得$ S = xy=\frac{1}{20}·4x·5y\leq\frac{1}{20}×\left(\frac{4x + 5y}{2}\right)^2=\frac{81}{5} $，当且仅当$ \begin{cases}4x = 5y\\4x + 5y = 36\end{cases} $，即$ \begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{18}{5}\end{cases} $时，等号成立，
因此，$ x,y $的值分别为$ \frac{9}{2},\frac{18}{5} $时，每间虎笼的面积最大。
(2)由题知$ xy = 20 $，则$ 4x + 5y\geq2\sqrt{20xy}=40 $，当且仅当$ \begin{cases}4x = 5y\\xy = 20\end{cases} $，即$ \begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases} $时，等号成立，因此，$ x,y $的值分别为$ 5,4 $时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小。

对点练2 某货轮匀速行驶在相距 $300$ 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成. 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 $0.5$)，其他费用为每小时 $800$ 元，且该货轮的最大航行速度为 $50$ 海里/时.
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本 $y$ (单位：元)用航行速度 $x$ (单位：海里/时)表示；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

答案： 解：
(1)由题意，每小时的燃料费用为$ 0.5x^2 $元，从甲地到乙地所用的时间为$ \frac{300}{x} $小时，则$ y = 0.5x^2·\frac{300}{x}+800·\frac{300}{x}=150\left(x+\frac{1600}{x}\right)(0 ＜ x\leq50) $。
(2)由
(1)得$ y = 150\left(x+\frac{1600}{x}\right)\geq300·\sqrt{x·\frac{1600}{x}} = 12000 $，
当且仅当$ x=\frac{1600}{x} $，即$ x = 40 $时等号成立。
故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以$ 40 $海里/时的速度行驶。

典例3 (链教材 P49T8)如图所示，设矩形 $ABCD(AB ＞ BC)$ 的周长为 $24$，把它沿 $AC$ 翻折，翻折后 $AB'$ 交 $DC$ 于点 $P$，设 $AB = x$.
(1)用 $x$ 表示 $DP$，并求出 $x$ 的取值范围；
(2)求 $\triangle ADP$ 面积的最大值及此时 $x$ 的值.

听课笔记：

答案： 解：
(1)矩形$ ABCD(AB＞BC) $的周长为$ 24 $，
$ AB = x $，所以$ AD=\frac{24}{2}-x = 12 - x $，
因为$ AB＞BC = AD $，得$ x＞12 - x $，所以$ 6 ＜ x ＜ 12 $，
在$ \triangle APC $中，$ \angle PAC=\angle PCA $，所以$ AP = PC $，从而得$ DP = PB' $，
所以$ AP = AB' - PB' = AB - DP = x - DP $，在$ Rt\triangle ADP $中，由勾股定理得$ (12 - x)^2 + DP^2=(x - DP)^2 $，所以$ DP = 12-\frac{72}{x}(6 ＜ x ＜ 12) $。
(2)在$ Rt\triangle ADP $中，$ S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}AD· DP=\frac{1}{2}(12 - x)\left(12-\frac{72}{x}\right)=108-\left(6x+\frac{432}{x}\right)(6 ＜ x ＜ 12) $。
因为$ 6 ＜ x ＜ 12 $，所以$ 6x+\frac{432}{x}\geq2\sqrt{6x·\frac{432}{x}} = 72\sqrt{2} $，当且仅当$ 6x=\frac{432}{x} $，即$ x = 6\sqrt{2} $时，等号成立。
所以$ S_{\triangle ADP}=108-\left(6x+\frac{432}{x}\right)\leq108 - 72\sqrt{2} $，
所以当$ x = 6\sqrt{2} $时，$ \triangle ADP $的面积取最大值$ 108 - 72\sqrt{2} $。

对点练3 如图所示，将一矩形花坛 $ABCD$ 扩建为一个更大的矩形花坛 $AMPN$，要求点 $B$ 在 $AM$ 上，点 $D$ 在 $AN$ 上，且对角线 $MN$ 过点 $C$，已知 $AB = 4$ 米，$AD = 3$ 米，当 $BM =$4米 时，矩形花坛 $AMPN$ 的面积最小.

答案： 对点练3 $ 4 $米 设$ BM = x(x＞0) $，则由$ DC// AM $得$ \frac{ND}{ND + 3}=\frac{4}{4 + x} $，解得$ ND=\frac{12}{x} $，所以矩形$ AMPN $的面积为$ S=(4 + x)\left(3+\frac{12}{x}\right)=24 + 3x+\frac{48}{x}\geq24 + 2\sqrt{3x·\frac{48}{x}} = 48 $，当且仅当$ 3x=\frac{48}{x} $，即$ x = 4 $时等号成立。所以当$ BM = 4 $米时，矩形花坛$ AMPN $的面积最小。