《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 2 （链教材 P173 例 4）把下列各角度化成弧度，弧度化成角度：
(1)$120^{\circ}$; (2)$25^{\circ}30'$; (3)$\frac{\pi}{10}$;
(4)$-3$; (5)$-\frac{11\pi}{5}$; (6)$-1560^{\circ}$.
听课笔记：

答案： 2. 解：
(1)$120^{\circ} = 120×\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.
(2)$25^{\circ}30' = 25.5^{\circ} = 25.5×\frac{\pi}{180} = \frac{17\pi}{120}$.
(3)$\frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}×\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} = 18^{\circ}$.
(4)$-3 = -3×\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx -171.9^{\circ}$.
(5)$-\frac{11\pi}{5} = -\frac{11\pi}{5}×\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} = -396^{\circ}$.
(6)$-1560^{\circ} = -1560×\frac{\pi}{180} = -\frac{26\pi}{3}$.

对点练 2. 把下列角度与弧度进行互化：
(1)$\frac{511}{6}\pi$; (2)$-\frac{5\pi}{12}$; (3)$10^{\circ}$; (4)$-855^{\circ}$.

答案： 2.解：
(1)$\frac{511}{6}\pi = \frac{511}{6}×180^{\circ} = 15330^{\circ}$.
(2)$-\frac{5\pi}{12} = -\frac{5}{12}×180^{\circ} = -75^{\circ}$.
(3)$10^{\circ} = 10×\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{18}$.
(4)$-855^{\circ} = -855×\frac{\pi}{180} = -\frac{19\pi}{4}$.

典例 3 将$-1125^{\circ}$写成$\alpha + 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$的形式，其中$0 \leqslant \alpha ＜ 2\pi$，并判断它是第几象限角.
听课笔记：

答案： 3. 解：$-1125^{\circ} = -1125×\frac{\pi}{180} = -\frac{25\pi}{4} = -8\pi + \frac{7\pi}{4}$，其中$\frac{3\pi}{2} ＜ \frac{7\pi}{4} ＜ 2\pi$，所以$\frac{7\pi}{4}$是第四象限角，所以$-1125^{\circ}$是第四象限角.

对点练 3. (1)与$120^{\circ}$角终边相同的角$\alpha$的集合为 (D)

A.$\{\alpha \mid \alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$
B.$\{\alpha \mid \alpha = 120^{\circ} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$
C.$\{\alpha \mid \alpha = \frac{\pi}{3} + k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$
D.$\{\alpha \mid \alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$

答案： 3.
(1)D
(1)$120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$，故与$120^{\circ}$角终边相同的角$\alpha$的集合为$\left\{\alpha\mid \alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k\in \mathbf{Z}\right\}$.故选D.

(2)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：

答案：
(2)①终边在阴影部分的角的集合为$\left\{\alpha\mid 2k\pi + \frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq 2k\pi + \frac{2\pi}{3}, k\in \mathbf{Z}\right\}$.
②终边在阴影部分的角的集合为$\left\{\alpha\mid 2k\pi \leq \alpha \leq 2k\pi + \frac{\pi}{6}, k\in \mathbf{Z}\right\} \cup \left\{\alpha\mid 2k\pi + \pi \leq \alpha \leq 2k\pi + \frac{7\pi}{6}, k\in \mathbf{Z}\right\} = \left\{\alpha\mid k\pi \leq \alpha \leq k\pi + \frac{\pi}{6}, k\in \mathbf{Z}\right\}$.