《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1 (1)若 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)=x^{2}-2x+3 $，求 $ f(x) $ 的解析式；
(2)设 $ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数，且 $ f(x)+g(x)=\frac{1}{x - 1} $，求函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式.
听课笔记：
[变式探究] 1. (变条件)在本例(1)中，把条件“$ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x＞0 $ 时”改为“$ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，当 $ x \geq 0 $ 时”，其余条件不变，求 $ f(x) $ 的解析式.
2. (变条件)在本例(2)中，把条件“$ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数”改为“$ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是偶函数”，求 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式.

答案： 解:
(1)当x＜0时,−x＞0,
　f(−x)=(−x)²−2(−x)+3=x²+2x+3,
　由于f(x)是奇函数,故f(x)=−f(−x),
　所以f(x)=−x²−2x−3.
　即当x＜0时,f(x)=−x²−2x−3.
　又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f
(0)=0,
　故f(x)=$\begin{cases} x^2 - 2x + 3, & x＞0, \\ 0, & x=0, \\ -x^2 - 2x - 3, & x＜0. \end{cases}$
(2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
　所以f(−x)=f(x),g(−x)=−g(x),
　由f(x)+g(x)=$\frac{1}{x−1}$,①
　用−x代替上式中的x,得f(−x)+g(−x)=$\frac{1}{−x−1}$,
　所以f(x)−g(x)=$\frac{1}{-x - 1}$②
　(①+②)÷2,得f(x)=$\frac{1}{x²−1}$;
　(①−②)÷2,得g(x)=$\frac{x}{x²−1}$.
[变式探究]　1.解:当x＜0时,−x＞0,f(−x)=(−x)²−2(−x)+3=
　x²+2x+3,
　由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(−x),
　所以f(x)=x²+2x+3.
　即当x＜0时,f(x)=x²+2x+3，故f(x)=$\begin{cases} x^2 - 2x + 3, & x \geq 0, \\ x^2 + 2x + 3, & x＜0. \end{cases}$
2.解:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，
　所以f(−x)=−f(x),g(−x)=g(x),
　又f(x)+g(x)=$\frac{1}{x−1}$,①
　用−x代替上式中的x,得f(−x)+g(−x)=$\frac{1}{−x−1}$,
　即−f(x)+g(x)=$\frac{1}{-x - 1}$.②
　联立①②得f(x)=$\frac{x}{x²−1}$,g(x)=$\frac{1}{x²−1}$.

对点练 1.
(1)若函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，且当 $ x＜0 $ 时，$ f(x)=x - x^{4} $，则当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)= $.
(2)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x＞0, \\ g(x),x \leq 0\end{cases}$ 为奇函数，则 $ g(x)= $ ______ .

答案：
(1)−x−x⁴　
(2)$\begin{cases} 0, & x=0, \\ -x^2 - 1, & x＜0 \end{cases}$
(1)设x＞0,则−x＜0,所以f(−x)=(−x)−(−x)⁴=−x−x⁴,又函数f(x)是R上的偶函数,所以当x＞0时,f(x)=f(−x)=−x−x⁴.
(2)因为函数f(x)=$\begin{cases} x^2 + 1, & x＞0, \\ g(x), & x \leq 0 \end{cases}$为奇函数,所以f
(0)=g
(0)=0.设x＜0,则−x＞0,f(−x)=(−x)²+1=x²+1,所以f(x)=g(x)=
　−f(−x)=−x²−1.综上可得,g(x)=$\begin{cases} 0, & x=0, \\ -x^2 - 1, & x＜0. \end{cases}$