《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

? 问题导思
（阅读教材 P136－138，完成探究问题）
问题. 观察函数$y = x$，$y = 2^x$，$y = \log_2 x$在区间$(0, +\infty)$上的图象，思考以下两个问题：

(1) 三个函数在区间$(0, +\infty)$上的图象有什么特点？
(2) 当$x$趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？

答案：
(1)三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增.
(2)三个函数的增长速度差异很大,其中y = 2^x增长速度最快,y = log₂x增长速度最慢.

新知 构建
三种常见函数模型的增长差异

［微提醒］ (1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型.
(3) 一次函数增长速度不变，平稳变化. (4) 函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.

答案： 单调递增　单调递增　单调递增　y = kx(k＞0)　logₐx ＜ kx　a^x ＞ kx ＞ logₐx

典例 1 (1) 当$x$越来越大时，下列函数中增大速度最快的是 (D)

A.$y = 5x$
B.$y = \log_5 x$
C.$y = x^5$
D.$y = 5^x$

答案：
(1)D　结合函数的性质可知,几种函数模型中,指数函数模型的增长速度最快.故选D.

(2) 有一组实验数据如表所示：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 (D)

A.$v = 0.5t$
B.$v = 0.5(t^2 - 1)$
C.$v = \log_{0.5} t$
D.$v = \log_2 t$

答案：

(2)D　由题表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示。
数据的散点图和对数函数v = log₂t的图象类似,所以选项D最能反映t,v之间的函数关系.故选D.