《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
(阅读教材P11—12，完成探究问题2)
问题2.观察集合$A = \{ 1,2,3\}$，$B = \{ 2,3,4\}$，$C = \{ 2,3\}$，你能说出集合$C$中的元素与集合$A,B$有什么关系?

答案： 2.集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B。

新知 构建
1.交集
图形语言

答案： 1.且 $A\cap B$ $\{x\mid x\in A,且x\in B\}$

2.交集的运算性质
$A \cap B = B \cap A$；$A \cap A = A$；$A \cap \varnothing = \varnothing$；$A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B$.
[微提醒] $A \cap B$仍是一个集合，$A \cap B$中的任意元素都是$A$与$B$的公共元素，同时$A$与$B$的公共元素都属于$A \cap B$.
[微思考] 如果集合$A,B$没有公共元素，那么它们的交集是什么?

答案： [微思考]　$A\cap B = \varnothing$。

典例2 (链教材P12练习T2)

(1)若$A = \{ x \in \mathbf{N}|1 \leqslant x \leqslant 10\}$，$B = \{ x \in \mathbf{R}|x^{2} + x - 6 = 0\}$，则图中阴影部分表示的集合为 (A)
A.$\{ 2\}$
B.$\{ 3\}$
C.$\{ - 3,2\}$
D.$\{ - 2,3\}$

答案：
(1)A　
(1)易知$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$，$B = \{-3, 2\}$，图中阴影部分表示的集合为$A\cap B = \{2\}$。故选A。

(2)已知集合$M = \{ x| - 1 ＜ x ＜ 3\}$，$N = \{ x| - 2 ＜ x ＜ 1\}$，则$M \cap N =$$\{x\mid -1 ＜ x ＜ 1\}$.
听课笔记：

答案：

(2)$\{x\mid -1 ＜ x ＜ 1\}$　
(2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示
　　　　　　　　　
　由图知$M\cap N = \{x\mid -1 ＜ x ＜ 1\}$。

对点练2.(1)已知集合$A = \{ x|x \geqslant 0\}$，$B = \{ x \in \mathbf{Z}| - 2 ＜ x ＜ 2\}$，则$A \cap B =$ (C)

A.$\{ - 1,0\}$
B.$\{ x|0 \leqslant x ＜ 2\}$
C.$\{ 0,1\}$
D.$\{ 0,1,2\}$

答案：
(1)C　
(1)因为$B = \{x\in \boldsymbol{Z}\mid -2 ＜ x ＜ 2\} = \{-1, 0, 1\}$，$A = \{x\mid x\geqslant 0\}$，所以$A\cap B = \{0, 1\}$，故选C。

(2)(双空题)若集合$A = \{ x| - 1 ＜ x ＜ 5\}$，$B = \{ x|x \leqslant - 1$，或$x \geqslant 4\}$，则$A \cup B =$R，$A \cap B =$$\{x\mid 4\leqslant x ＜ 5\}$.

答案：
(2)R $\{x\mid 4\leqslant x ＜ 5\}$　
(2)如图，借助数轴可知$A\cup B = \boldsymbol{R}$，$A\cap B = \{x\mid 4\leqslant x ＜ 5\}$。
　　　　　　　　　　　$A\cup B = \boldsymbol{R}$，$A\cap B = \{x\mid 4\leqslant x ＜ 5\}$。

典例3 已知集合$A = \{ x|x \leqslant - 1$，或$x \geqslant 3\}$，$B = \{ x|a ＜ x ＜ 4\}$，若$A \cup B = \mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$\{ a|3 \leqslant a ＜ 4\}$
B.$\{ a| - 1 ＜ a ＜ 4\}$
C.$\{ a|a \leqslant - 1\}$
D.$\{ a|a ＜ - 1\}$
听课笔记：
[变式探究]
1.(变条件)将本例中“$A \cup B = \mathbf{R}$”变成“$A \cup B = A$”，其他条件不变，求实数$a$的取值范围.
2.(变条件)将本例中集合$B$变为“$B = \{ x|a ＜ x \leqslant 4 - a\}$”，且“$A \cup B = \mathbf{R}$”变为“$A \cap B = \varnothing$”，求实数$a$的取值范围.

答案： 典例3　C　利用数轴，若$A\cup B = \boldsymbol{R}$，则$a\leqslant -1$，所以实数a的取值范围是$\{a\mid a\leqslant -1\}$。故选C；　　　　　　　　　　34xα−10
@@1.解：当$a\geqslant 4$时，集合B为空集，满足题意；当$a ＜ 4$时，若要满足$A\cup B = A$，则$B\subseteq A$，必有$a\geqslant 3$，则$3\leqslant a ＜ 4$。　综上，实数a的取值范围是$\{a\mid a\geqslant 3\}$。2.解：当$a\geqslant 4 - a$，即$a\geqslant 2$时，集合B为空集，满足题意；当$a ＜ 2$时，则有$a\geqslant -1$且$4 - a ＜ 3$，故有$1 ＜ a ＜ 2$。　综上，实数a的取值范围是$\{a\mid a ＞ 1\}$。