《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1
(1)函数$f(x)$的大致图象如图所示，则函数$f(x)$的一个零点为 (B)


A.1
B.2
C.$(0,1)$
D.$(2,0)$

答案：
(1)B
(1)根据函数$ f(x) $的图象可知,$ f(x) $的图象与$ x $轴的交点为$ (2,0) $,所以函数$ f(x) $的零点为2. 故选B.

(2)函数$f(x)=2^{x - 1}-1$的零点为1.

答案：
(2)1
(2)令$ f(x)=2^{x - 1}-1 = 0 $,则$ 2^{x - 1}=1 $,所以$ x - 1=\log_{2}1 = 0 $,故$ x = 1 $,故函数$ f(x) $的零点为1.

对点练 1. 求下列函数的零点：
(1)$f(x)=x^{2}+2x - 3$；
(2)$f(x)= - 2 + \ln x$；
(3)$f(x)=\begin{cases} 2x - 4, & x \geq 0, \\2x^{2} + 5x + 2, & x ＜ 0 .\end{cases}$

答案： 解:
(1)令$ x^{2}+2x - 3 = 0 $,则$ (x + 3)(x - 1)=0 $,解得$ x = - 3 $或$ x = 1 $,即函数$ f(x) $的零点为$ - 3 $和1.
(2)易知函数$ f(x) $的定义域为$ (0,+\infty) $,令$ - 2+\ln x = 0 $,则$ \ln x = 2 $,解得$ x = \mathrm{e}^{2} $,所以函数$ f(x) $的零点为$ \mathrm{e}^{2} $.
(3)当$ x\geq0 $时,由$ 2x - 4 = 0 $得$ x = 2 $;
当$ x\lt0 $时,由$ 2x^{2}+5x + 2 = 0 $得$ x = - 2 $或$ x = -\frac{1}{2} $.
所以函数$ f(x) $的零点为$ - 2,-\frac{1}{2},2 $.

? 问题导思
(阅读教材 P143，完成探究问题 2)
问题 2. 观察函数$f(x)=x^{2}-2x - 3$的图象：

(1)$f(x)$在区间$(-2,1)$上有零点吗？$f(-2)· f(1)$的值和$0$有什么关系？
(2)$f(x)$在区间$(2,4)$上有零点吗？$f(2)· f(4)$的值和$0$有什么关系？

答案： 问题导思 2.
(1)观察图象可知,有零点$ - 1\in(-2,1) $,且$ f(-2)\gt0 $,$ f(1)\lt0 $,所以$ f(-2)· f(1)\lt0 $.
(2)观察图象可知,有零点$ 3\in(2,4) $,且$ f(2)\lt0 $,$ f(4)\gt0 $,所以$ f(2)· f(4)\lt0 $.

新知 构建
函数零点存在定理
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$ f(a)f(b)\lt0 $，那么，函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$ c\in(a,b) $，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解.

答案： 新知构建
$ f(a)f(b)\lt0 $ 至少有一个 存在$ c\in(a,b) $

［微思考］
1. 函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，$f(a)f(b)＜0$时，能否判断函数在区间$(a,b)$上的零点个数？
2. 函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$上有零点，是不是一定有$f(a)· f(b)＜0$？

答案： [微思考] 1. 只能判断有零点,不能判断零点的个数.
2. 不一定,如$ f(x)=x^{2} $在区间$ (-1,1) $上有零点0,但是$ f(-1)f(1)=1×1 = 1\gt0 $.