《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

问题导思
(阅读教材 P79，完成探究问题)
问题. 如图是沙漠地带某天气温随时间的变化曲线。

(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为 $ f(t) $，则 $ f(t) $ 在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？

答案： 问题导思
(1)该天的最高气温为$25°C$，最低气温为$-5°C$。
(2)该天某时刻的气温变化范围是$[-5,25]$。
(3)气温的最大值在$t = 17$时取得，气温的最小值在$t = 6$时取得。

新知构建
函数的最大值、最小值

答案： $f(x)\leqslant M$ $f(x)\geqslant M$ $f(x_0)=M$ $f(x_0)=M$

[微思考] 1. 若函数 $ f(x) \leq M $，则 $ M $ 一定是函数的最大值吗？
2. 任意函数 $ f(x) $ 一定有最大值或最小值吗？

答案： [微思考] 1. 对于定义域内的任意$x$都满足$f(x)\leqslant M$，那么$M$不一定是函数$f(x)$的最大值，只有定义域内存在一点$x_0$，使$f(x_0)=M$时，$M$才是函数的最大值，否则不是。比如$f(x)=-x^2\leqslant 3$成立，但$3$不是$f(x)$的最大值，$0$才是它的最大值。 2. 对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数$y=\dfrac{1}{x}$。如果有最值，那么最值一定是值域中的一个元素。

典例 1
已知函数$ f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & 0 \leq x \leq 2, \\ \dfrac{2}{x - 1}, & x ＞ 2, \end{cases} $求函数 f(x) 的最大值、最小值。
听课笔记：

答案：
典例1 解：作出$f(x)$的图象如图所示。
由图象可知，当$x = 2$时，$f(x)$取最大值为$2$；
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$f(x)$取最小值为$-\dfrac{1}{4}$。

所以$f(x)$的最大值为$2$，最小值为$-\dfrac{1}{4}$。

已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2, & -1 \leq x \leq 1, \\ \dfrac{1}{x}, & x ＞ 1. \end{cases} $ 求 $ f(x) $ 的最大值、最小值。

答案：
对点练1 解：作出函数$f(x)$的图象如图所示。
由图象可知，当$x=\pm1$时，$f(x)$取最大值为$f(1)=f(-1)=1$。当$x = 0$时，$f(x)$取最小值为$f(0)=0$。

故$f(x)$的最大值为$1$，最小值为$0$。