《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 函数$f(x)=|x - 1| + 1$的部分图象大致是 (A)

答案： A

2. 已知狄利克雷函数$D(x) = \left\{ \begin{matrix} 1,x \in \mathbf{Q}, \\0,x \in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q} .\end{matrix} \right.$则$D(D(\sqrt{2})) =$ ( )

A.2
B.$\sqrt{2}$
C.1
D.0

答案： C

3. 已知某停车场的收费标准：停车时间在3小时内(包括3小时)，车主需交费5元，若停车时间超过3小时，则每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为 (D)

A.16元
B.17元
C.18元
D.20元

答案： D

4. 已知函数$f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1,x \leq 1, \\|2 + a|x,x ＞ 1 .\end{matrix} \right.$若$f(f(1)) = 4a$，则实数$a =$ ______ .

答案： 2

? 问题导思
（阅读教材 P76－79，完成探究问题 1）
问题 1. 观察下面三个函数图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？

$y = x$ $y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$ $y = x^2$

答案： 函数y=x的图象从左向右看是上升的,相应函数值随自变量x的增大而增大;函数y=$\frac{1}{x}$(x＞0)的图象从左向右看是下降的,相应函数值随自变量x的增大而减小;函数y=x²的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的,相应函数值,当x＜0时,y随x的增大而减小;当x＞0时,y随x的增大而增大.

新知 构建
函数的单调性

[微思考]
1. 在单调性的定义中，能否把“$\forall x_1,x_2 \in I$”改为“$\exists x_1,x_2 \in I$”?
2. $\forall x_1,x_2 \in D$，若$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ＞ 0$，则$y = f(x)$在区间$D$上是增函数吗？若$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ＜ 0$，则$y = f(x)$在区间$D$上是减函数吗？简要说明原因.

答案：
f(x₁)＜f(x₂)　f(x₁)＞f(x₂)
[微思考]　1.不能，如图所示,虽然f(−1)＜f
(2),但原函数在[−1,2]上不单调.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.是,若$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$＞0,则x₂−x₁与f(x₂)−f(x₁)同号,即x₂＞x₁时,f(x₂)＞f(x₁),所以f(x)在区间D上为增函数.同理,$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$＜0时,f(x)在区间D上为减函数