《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

1. 用 $12$ cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是(C)

A.$3$ cm²
B.$6$ cm²
C.$9$ cm²
D.$12$ cm²

答案： 1. C

2. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润 $s$ (单位：万元)与生产线运转时间 $t$ (单位：年)满足二次函数关系：$s = -2t² + 40t - 98$，现要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为(A)

A.$7$ 年
B.$8$ 年
C.$9$ 年
D.$10$ 年

答案： 2. A

3. 某工厂生产某种产品，第一年产量为 $A$，第二年的增长率为 $a$，第三年的增长率为 $b$，这两年的平均增长率为 $x(a,b,x$ 均大于零)，则(B)

A.$x = \dfrac{a + b}{2}$
B.$x \leqslant \dfrac{a + b}{2}$
C.$x ＞ \dfrac{a + b}{2}$
D.$x \geqslant \dfrac{a + b}{2}$

答案： 3. B

4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为400.

请完成课时分层评价 13

答案： 4. 400

典例1 已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$3a + b = 2ab$，求 $a + b$ 的最小值.
听课笔记：

答案： 解：因为$ a＞0,b＞0 $，且$ 3a + b = 2ab $，
所以$ \frac{3}{2b}+\frac{1}{2a}=1 $，
则$ a + b=\left(\frac{3}{2b}+\frac{1}{2a}\right)(a + b)=2+\frac{3a}{2b}+\frac{b}{2a}\geq2 + 2\sqrt{\frac{3a}{2b}·\frac{b}{2a}}=2+\sqrt{3} $，
当且仅当$ \frac{3a}{2b}=\frac{b}{2a} $时等号成立，
即$ a=\frac{\sqrt{3}+1}{2},b=\frac{3+\sqrt{3}}{2} $时取等号，则$ a + b $的最小值为$ 2+\sqrt{3} $。

典例2 已知实数 $x$，$y$ 满足 $xy + 3x = 3$，且 $0 ＜ x ＜ \dfrac{1}{2}$，求 $\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{y - 3}$ 的最小值.
听课笔记：

答案： 解：因为实数$ x,y $满足$ xy + 3x = 3\left(0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\right) $，
所以$ x=\frac{3}{y + 3} $，所以$ 0 ＜ \frac{3}{y + 3} ＜ \frac{1}{2} $，解得$ y ＞ 3 $。
则$ \frac{3}{x}+\frac{1}{y - 3}=y + 3+\frac{1}{y - 3}=y - 3+\frac{1}{y - 3}+6 $
$ \geq2\sqrt{(y - 3)·\frac{1}{y - 3}}+6 = 8 $，
当且仅当$ y - 3=\frac{1}{y - 3} $，即$ y = 4,x=\frac{3}{7} $时，等号成立。
故$ \frac{3}{x}+\frac{1}{y - 3} $的最小值为$ 8 $。