《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

真题 5　(2022·全国乙卷)设全集$U=\{1,2,3,4,5\}$，集合$M$满足$\complement_U M=\{1,3\}$，则 (A)

A.$2\in M$　　
B.$3\in M$　　
C.$4\notin M$　　
D.$5\notin M$

答案： A
由题知$M = \complement_{U}(\complement_{U}M) = \{ 2,4,5\}$，对比选项知，A正确，BCD错误。故选A。

真题 6　(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 (C)

A.62％　　
B.56％　　
C.46％　　
D.42％

答案： C
设该校学生总数为$100$，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为$x$；则$100×96\% = 100×60\% + 100×82\% - x$，解得$x = 46$，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为$46\%$。故选C。

真题 7　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题$p:\forall x\in \mathbf{R}$，$|x+1|＞1$；命题$q:\exists x＞0$，$x^3 =x$. 则(B)

A.$p$和$q$都是真命题
B.$\neg p$和$q$都是真命题
C.$p$和$\neg q$都是真命题
D.$\neg p$和$\neg q$都是真命题

答案： B
因为$\forall x\in\mathbf{R}$，$|x + 1|\geq0$，所以命题$p$为假命题，故$\neg p$为真命题。因为$x^{3}=x$，所以$x^{3}-x = 0$，所以$x(x^{2}-1) = 0$，即$x(x + 1)(x - 1) = 0$，解得$x = - 1$或$x = 0$或$x = 1$，所以$\exists x\gt0$，使得$x^{3}=x$，所以命题$q$为真命题，所以$\neg q$为假命题，所以$\neg p$和$q$都是真命题。故选B。

真题 8　(2023·天津卷)“$a^2 =b^2$”是“$a^2 +b^2 =2ab$”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： B
由$a^{2}=b^{2}$可得$a = \pm b$，所以$a^{2}+b^{2}=2a^{2}$或$a^{2}+b^{2}=2b^{2}$，由$a^{2}+b^{2}=2ab$可得$(a - b)^{2}=0$，即$a = b$，所以$a^{2}=b^{2}$，所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件。故选B。